1.4.2. Пример решения задачи на равновесие твердого тела под действием плоской системы сил

При решении задач статики целесообразно использование (независимо от действующей системы сил) следующих методических указаний.

Решение начинается с выбора объекта равновесия, т.е. тела, равновесие которого должно быть исследовано. На чертеже изображаются активные силы, приложенные к телу по условию задачи.

Затем тело мысленно освобождается от наложенных связей, а их действие заменяется соответствующими реакциями, которые также изображаются на чертеже. Если линия действия реакции заранее неизвестна, то она раскладывается на составляющие, параллельные осям координат.

Изобразив на чертеже все активные силы и реакции связей, устанавливается, какая из систем сил действует на тело. Далее составляются соответствующие уравнения равновесия.

Оси координат полезно выбирать направленными перпендикулярно какой либо неизвестной силе; а центр моментов сил - располагать в точке пересечения линий действия неизвестных сил. Затем решается система алгебраических уравнений равновесия относительно неизвестных величин (чаще всего реакций связей).

Следует отметить, что в результате решения уравнений равновесия определяются модули неизвестных сил. Если же результаты решения получаются со знаком «минус», то это означает, что направления действия данных сил выбраны первоначально ошибочно и силы на самом деле имеют противоположные направления.

Пример 1. Однородная прямолинейная балка весом опирается концом на гладкий горизонтальный пол и промежуточной точкой - на ребро. Балка удерживается под углом к горизонту веревкой , перпендикулярной к оси балки, причем (рис.21). Определить реакции опор и , а также натяжение веревки .

Решение. Рассматриваем равновесие балки . Прикладываем в середине балки, точке , силу тяжести . Мысленно освобождаем балку от связей, прикладываем к ней следующие реакции связей: реакцию пола , реакцию веревки , реакцию ребра . Отметим, что линии действия реакции связей нам известны [см. тему 1.1].

Данные силы образуют плоскую систему сил, действующую на балку . Выберем оси координат и составим три уравнения равновесия для данной системы сил в форме (35):

. (35)

Здесь , где длина балки обозначена как l , при этом .

- плечи сил относительно точки , причем .

Из треугольника имеем

.

Из прямоугольника видно, (рис.21), что

Решая уравнение (а), получим: .

Решая уравнение (б), получим: (здесь учитывается предыдущий результат).

Из уравнения (в) имеем:

Зная реакцию веревки , можно найти на основании третьего закона Ньютона силу натяжения веревки , которая на балку не действует:

Сила приложена к веревке в точке и направлена от к .

Задача так же легко решается, если за центр моментов сил выбрать вместо точки точку , где пересекаются линии действия реакций и .

Отметим, что из полученных результатов следует, что силы и , а также силы и образуют две пары сил, равные по модулю и противоположные по направлению вращения, иллюстрирующие условия равновесия системы пар, действующих на балку .