2.2. Простейшие движения твердого тела

2.2.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором отрезок прямой, неизменно связанный с телом, остается параллельным своему начальному положению.

Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным. Примерами прямолинейного поступательного движения являются движение суппортов большинства металлорежущих и деревообрабатывающих станков, движения поршней в цилиндрах стационарного двигателя внутреннего сгорания. Криволинейно поступательно движутся кабины аттракциона «колесо обозрения».

Пусть твердое тело движется поступательно относительно условно неподвижной системы . Выберем в теле произвольно две точки и , положение которых определяется радиус-векторами и (рис. 31). Соединим концы этих векторов радиус-вектором . Поскольку тело является твердым, а движение поступательным, то вектор остается неизменным по модулю и направлению. Уравнения движения точек и имеют вид:

. (75)

Из рис. 31 видно, что вектора и связаны между собой следующим соотношением:

. (76)

Из равенства (76) следует, что траектория точки может быть получена из траектории точки параллельным переносом всех ее точек на постоянный вектор .

Дифференцируя по времени соотношение (76), получим

или . (77)

Дифференцируя по времени (77), имеем

или . (78)

Следовательно доказана следующая теорема: при поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории, совпадающие при параллельном переносе, и обладают в любой момент времени геометрически равными скоростями и ускорениями.

Поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки (например ) и выражается уравнением

.

2.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси и кинематические характеристики этого движения

Вращением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две его точки остаются неподвижными.

Все точки тела, лежащие на неподвижной оси также являются неподвижными. Эта ось (рис. 32) называется осью вращения тела. Проведем через ось две полуплоскости: неподвижную и подвижную , неизменно связанную с вращающимся телом. Угол между этими полуплоскостями называется углом поворота тела. Будем считать его положительным, если смотря с положительного конца оси видим его отложенным от полуплоскости до полуплоскости в направлении против хода часовой стрелки и отрицательным – по ходу часовой стрелки.

Положение твердого тела с неподвижной осью вполне определяется углом поворота . При вращении тела угол изменяется, являясь функцией времени:

. (79)

Э та зависимость называется уравнением (или законом) вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Угол измеряется в радианах. Радианом называется центральный угол, длина дуги которого равна радиусу. Числовое значение угла в радианах равно отношению длины дуги к радиусу, т.е. оно – отвлеченное число.

Если угол поворота выражается числом полных оборотов , то угол в радианах равен

. (80)

Угловая скорость вращающегося вокруг неподвижной оси твердого тела характеризует быстроту и направление вращения тела в данный момент времени .

Угловая скорость обозначается буквой и равна первой производной по времени от угла поворота тела

. (81)

Знак угловой скорости указывает направление вращения тела: если тело вращается в направлении против хода часовой стрелки (наблюдая с положительного конца оси ) – то значение положительное, если – по ходу часовой стрелки – то оно отрицательное.

Модуль угловой скорости равен:

. (82)

Размерность угловой скорости будет:

. (83)

В технике угловую скорость задают числом оборотов в минуту. Тогда:

. (84)

Угловое ускорение вращающегося твердого тела характеризует быстроту изменения угловой скорости тела в данный момент времени.

Угловое ускорение обозначается буквой и равно первой производной от времени от угловой скорости, либо второй производной по времени от угла поворота

. (85)

Если знаки и одинаковы, то тело вращается ускоренно, если они противоположные – то замедленно.

Размерность углового ускорения тела

. (86)

Модуль углового ускорения равен

. (87)

Рассмотренные кинематические характеристики: угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение относятся к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, как к единому целому.

Частные случаи равномерного и равнопеременного вращений твердого тела вокруг неподвижной оси изучаются самостоятельно (см. [2], с. 162,163).