- •Кафедра теоретической и прикладной механики теоретическая механика Учебно-методический комплекс
- •1. Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •1.2.1. Содержание дисциплины по гос
- •1.2.2. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Раздел I. Статика (40 часов)
- •1.2. Моменты силы. Пара сил (10 часов)
- •1.3. Произвольная система сил (10 часов)
- •1.4. Плоская система сил (10 часов)
- •Раздел 2. Кинематика (60 часов)
- •2.1. Кинематика точки (13 часов)
- •2.2. Простейшие движения твердого тела (9 часов)
- •2.3. Сложное движение точки (15 часов)
- •2.4. Плоское движение твердого тела (15 часов)
- •2.5. Сферическое движение твердого тела. Общий случай движения свободного твердого тела (8 часов)
- •Раздел 3. Динамика (100 часов)
- •3.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки (10 часов)
- •3.2. Прямолинейные колебания материальной точки (12 часов)
- •3.3. Введение в динамику механической системы. Теорема об изменении количества движения системы и о движении центра масс системы (8 часов)
- •3.4. Теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижных центра и осей (10 часов)
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии системы (10 часов)
- •3.6. Динамика плоского движения твердого тела (10 часов)
- •3.7. Основы кинетостатики (10 часов)
- •3.8. Введение в аналитическую механику (8 часов)
- •3.9. Принцип возможных перемещений (11 часов)
- •3.10. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа второго рода (11 часов)
- •3.11. Элементарная теория гироскопа (13 часов)
- •3.12. Основы теории удара (17 часов)
- •Заключение
- •2.2. Тематический план дисциплины
- •2.2.1. Тематический план дисциплины для студентов очной формы обучения
- •2.2.2. Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •2.2.3. Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.2.4. Тематический план дисциплины для студентов очной формы обучения
- •2.2.5. Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •2.2.6. Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.4.1.2. Практические занятия (очно-заочная форма обучения)
- •2.4.1.3. Практические занятия (заочная форма обучения)
- •2.4.2. Практические занятия
- •2.4.2.2. Практические занятия (очно-заочная форма обучения)
- •2.4.2.3. Практические занятия (заочная форма обучения)
- •2.5. Временной график изучения дисциплины
- •2.5.1. Временной график изучения дисциплины «Теоретическая механика»
- •2.5.2. Временной график изучения дисциплины «Теоретическая механика»
- •2.6. Балльно-рейтинговая система оценки знаний
- •3. Информационные ресурсы дисциплины
- •3.1. Библиографический список
- •3.2. Опорный конспект по дисциплине Введение
- •Раздел 1. Статика
- •1.1. Введение в механику
- •1.1.1. Некоторые основные понятия и определения
- •1.1.2. Основные законы механики
- •1.1.3. Свободные и несвободные тела. Связи и реакции связей
- •1.2. Моменты силы. Пара сил
- •1.2.1.Предмет статики
- •1.2.2. Условия и уравнения равновесия материальной точки
- •1.2.3. Момент силы относительно точки
- •1.2.4. Момент силы относительно оси
- •1.2.5. Пара сил и ее свойства
- •1.3. Произвольная система сил
- •1.3.1. Приведение силы к данному центру
- •1.3.2. Основная теорема статики
- •1.3.3. Определение модулей и направлений главного вектора и главного момента
- •1.3.4. Уравнения равновесия произвольной системы сил.
- •1.4. Плоская система сил
- •1.4.1. Уравнения равновесия плоской системы сил
- •1.4.2. Пример решения задачи на равновесие твердого тела под действием плоской системы сил
- •1.4.3. Равновесие системы тел
- •1.4.4. Пример решения задачи на равновесие твердого тела под действием произвольной системы сил
- •Раздел 2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.1.1. Кинематические способы задания движения точки
- •2.1.2. Скорость точки
- •2.1.3. Ускорение точки
- •2.1.4. Естественные оси
- •2.1.5. Проекции вектора ускорения точки на естественные оси
- •2.1.6. Пример решения задачи на кинематику точки
- •2.2. Простейшие движения твердого тела
- •2.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •2.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси и кинематические характеристики этого движения
- •2.2.3. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •2.2.4. Векторные формулы для кинематических характеристик вращающегося твердого тела
- •2.2.5. Пример решения задачи на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Раздел 3. Динамика
- •3.1. Динамика материальной точки
- •3.1.1. Основное уравнение динамики материальной точки в декартовых и естественных координатах
- •3.1.2. Две основные задачи динамики материальной точки
- •3.1.3. Инерциальные системы отсчета
- •3.2. Прямолинейные колебания материальной точки
- •3.2.1. Свободные гармонические колебания материальной точки
- •3.2.2. Пример решения задачи на свободные колебания точки
- •3.2.2. Свободные затухающие колебания материальной точки
- •3.2.3. Вынужденные колебания материальной точки
- •3.3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс механической системы
- •3.3.1. Механическая система
- •3.3.2. Количество движения материальной точки и системы
- •3.3.3. Теорема об изменении количества движения системы
- •3.3.4. Теорема о движении центра масс системы
- •3.3.5. Пример решения задачи на теорему о движении центра масс
- •3.4. Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижных центра и оси
- •3.4.1. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •3.4.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •3.4.3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •3.4.4. Осевые моменты инерции однородных тел простейшей геометрической формы
- •3.4.5. Теоремы об изменении кинетического момента системы относительно неподвижных центра и оси
- •3.4.6. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •3.4.7. Пример решения задач на теорему об изменении кинетического момента системы
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •3.5.1. Кинетическая энергия материальной точки, твердого тела и механической системы
- •3.5.2. Кинетическая энергия твердого тела
- •3.5.3. Работа и мощность силы
- •3.5.4. Работа силы тяжести и силы упругости
- •3.5.5. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
- •3.5.6. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •3.5.7. Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •3.5.8. Потенциальное силовое поле
- •3.5.9. Закон сохранения механической энергии
- •3.5.10. Пример решения задачи на теорему об изменении кинетической энергии механической системы
- •Заключение
- •3.3. Глоссарий (краткий словарь терминов)
- •4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Задания на контрольные работы и методические указания к их выполнению
- •4.1.1. Общие указания
- •4.1.2. Указания к выполнению контрольной работы 1 (Таблица 1)
- •4.1.3. Указания к выполнению контрольной работы 2 (Таблица 2)
- •4.1.4. Указания к выполнению контрольной работы 3 (Таблица 3)
- •4.1.5. Указания к выполнению контрольной работы 4 (Таблица 4)
- •4.1.6. Указания к выполнению контрольной работы 3 (Таблица 5)
- •4.1.7. Указания к выполнению контрольной работы 4 (Таблица 6)
- •4.2. Тестовые задания текущего контроля
- •4.3. Итоговый контроль. Вопросы к экзамену
2.1.1. Кинематические способы задания движения точки
Основной задачей кинематики точки является определение кинематических характеристик ее движения: траектории, т. е. линии, описываемой точкой в пространстве, скорости и ускорения. Но для этого необходимо задать движение точки, то есть уметь определять ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Существуют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.
Векторный способ. Пусть точка (рис. 24) движется относительно некоторой системы отсчета , условно принимаемой за неподвижную. Положение точки можно задать ее радиус-вектором , проведенным из начала координат . При движении точки радиус-вектор в общем случае изменяется по модулю и направлению, т. е. является вектор-функцией времени.
. (36)
Уравнение (36) позволяет в любой момент времени определить радиус-вектор (а значит положение точки ) и называется уравнением (или законом) движения точки в векторной форме. Траектория точки является геометрическим местом концов радиус-вектора , т. е. представляет собой годограф этого вектора.
Координатный способ. Положение точки в выбранной системе отсчета можно задать тремя ее координатами (рис. 24).
При движении точки ее координаты – непрерывные функции времени:
. (37)
Если точка движется в одной плоскости, например в плоскости , то будем иметь два уравнения движения:
. (38)
Прямолинейное движение точки определяется одним уравнением
. (39)
Уравнения (37), (38), (39) одновременно являются параметрическими уравнениями траектории (параметр – время ). Чтобы получить ее в виде зависимости между координатами, нужно исключить из уравнений движения (37)-(39) параметр .
Уравнения (37), (38), (39) вполне определяют положение точки в любой момент и поэтому называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Эти функции, отражающие реальный физический процесс, должны быть непрерывными, однозначными и дважды дифференцируемыми по времени.
Естественный способ. Этот способ применим в тех случаях, когда траектория точки заранее известна. Траектория рассматривается как криволинейная координатная ось. Положение точки на траектории определяется дуговой (криволинейной) координатой , отсчитываемой от некоторой неподвижной точки , выбранной за начало отсчета (рис.24).
Положительное и отрицательное направления отсчета координаты устанавливаются как на обычной, т. е. прямолинейной, координатной оси. При движении точки ее дуговая координата есть функция времени.
. (40)
Это уравнение называется законом движения точки по траектории. Не следует отождествлять дуговую координату с путем, пройденным точкой по траектории, который всегда является положительной величиной.
2.1.2. Скорость точки
Скорость точки – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данный момент времени.
Пусть движение точки относительно неподвижной системы отсчета задано уравнением , т. е. векторным способом. В момент времени точка занимает положение , определяемое радиус-вектором , а в момент – положение , определяемое радиус-вектором . Вектор , соединяющий положения и и равный приращению радиус-вектора за время называется вектором перемещения точки за время - . Векторная величина называется средней скоростью точки за время . Поскольку – положительная скалярная величина, то вектор направлен по хорде в сторону движения точки (рис. 25).
Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина , равная пределу, к которому стремится при :
(41)
(В механике производная от функции по времени может обозначаться точкой над функцией).
При положение точки неограниченно приближается к положению , а линия действия стремится к положению касательной к траектории в точке (рис.25).
Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени и направлен по касательной к траектории в сторону ее движения.
Из рис. 24, 25 видно, что проекции радиус-вектора на координатные оси равны соответствующим координатам точки, а именно:
.
Поэтому согласно формуле разложения вектора по координатным осям имеем
, (42)
где – орты осей системы отсчета. Зависимость (42) устанавливает связь между векторным и координатным способами задания движения точки.
Пусть движение точки задано уравнениями (37). Согласно формулам (41) и (42) имеем
. (42а)
Так как система отсчета принята за неподвижную, орты ее осей постоянны по модулю и направлению и поэтому:
. (42б)
С учетом этого обстоятельства можно написать:
. (43)
С другой стороны, согласно формуле разложения вектора по координатным осям:
, (44)
где – проекции вектора скорости по координатным осям.
Сравнивая выражения (43) и (44), находим
. (45)
Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.
Модуль вектора скорости точки равен
. (46)
Направление вектора скорости находится по направляющим косинусам:
. (47)
Пусть заданы траектория точки и закон движения точки по траектории . Представим формулу (41) в виде
. (48)
Определим модуль и направление вектора . По определению производной вектора по скаляру :
,
где приращение радиус-вектора за время , – приращение дуговой координаты за то же время (рис.25).
Предел отношения длины хорды к длине стягиваемой ею дуги при равен единице. Поэтому
. (48а)
Вектор направлен по касательной к траектории точки, т. е. к годографу вектора в сторону положительного отсчета координаты .
Направление вектора не зависит от направления движения точки по траектории. Действительно, если точка движется в сторону положительного отсчета координаты , то и согласно формуле (47) направление вектора совпадает с направлением скорости точки . При движении в обратную сторону и направление векторов и противоположны.
Итак, вектор представляет собой единичный вектор (орт), направленный по оси касательной (рис. 25) в сторону положительного отсчета дуговой координаты . Обозначим его через . Тогда (48) примет вид
. (49)
Но с другой стороны (50),
где - проекция вектора на касательную ось. Сравнивая (49) и (50), находим
. (51)
Таким образом, проекция вектора скорости на ось касательной к траектории равна первой производной по времени от дуговой координаты.
Модуль вектора скорости можно представить в виде,
. (52)