2.2.5. Пример решения задачи на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Пример 5. Уравнение вращения ротора турбины в период разгона из состояния покоя имеет вид . Определить в момент времени после пуска:

а) угол поворота, угловую скорость, угловое ускорение ротора,

б) скорость, касательное и нормальное ускорения точки ротора, отстоящей от оси вращения на расстоянии .

Решение.

Угол поворота ротора в заданный момент времени

.

Угловая скорость по модулю равна

;

при

.

Угловое ускорение по модулю равно

;

при

.

Модуль скорости точки

;

при

.

Модуль касательного ускорения точки

;

при

.

Модуль нормального ускорения точки

;

при

.

Вопросы для самопроверки по теме 2.2

1. Дайте определение поступательного движения твердого тела.

2. Каковы свойства траекторий, скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно?

3. Отличаются ли скорости и ускорения точек тела, движущегося поступательно, в случае прямолинейного и криволинейного движения тела?

4. Напишите уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

5. Дайте определение угловой скорости и углового ускорения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

6. Как определяются векторы и ?

7. Каковы условия равномерного и равнопеременного вращений твердого тела вокруг неподвижной оси?

8. Как определяются скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела?

9. Как располагаются точки твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси, скорости и ускорения которых: а) геометрически равны; б) равны по модулю?

10. Решите самостоятельно задачи: 13.4,13.15, 13.18,14.10 из [3].

Раздел 3. Динамика

3.1. Динамика материальной точки

В предыдущей части опорного конспекта по курсу теоретической механики были изложены два ее раздела – статика и кинематика.

В статике исследуются условия равновесия твердых тел и вопрос об их движении даже не ставится.

В кинематике изучается механическое движение тел вне связи с теми силами, под действием которых это движение практически происходит.

Однако между действующими силами и механическим движением материальных тел существует глубокая связь, постулируемая законами механики (смотри тему 1.1 “Введение в механику”).

Динамикой называется раздел теоретической механики, изучающий механическое движение материальных тел, происходящее под действием приложенных к ним сил.

На подавляющее большинство вопросов, предъявляемых к механике другими естественными науками, а также техникой, ответ может дать именно динамика.

При этом в динамике используются изложенное в статике понятие силы, а также разработанные в кинематике методы описания и изучения движения материальных тел. Поэтому предыдущую часть опорного конспекта следует считать введением в динамику, хотя разделы статики и кинематики имеют и самостоятельное значение при решении многих задач механики.

3.1.1. Основное уравнение динамики материальной точки в декартовых и естественных координатах

Выражением основного закона механики и принципа независимости действия сил является основное уравнение динамики материальной точки (смотри тему 1.1 “Введение в механику”):

. (1)

С учетом формулы кинематики , это уравнение может быть представлено в виде:

или . (2)

Проектируя векторное уравнение (2) на оси инерциальной декартовой системы координат, получим уравнения динамики материальной точки в декартовых координатах.

. (3)

Здесь

, , - проекции ускорения точки на оси декартовой системы координат, а - проекции равнодействующей на соответствующие оси.

Другую форму уравнений динамики точки получим проектированием уравнения (2) на естественные координатные оси:

где - проекции ускорения точки, а - проекции равнодействующей на соответствующие естественные оси.

С учетом формул кинематики естественные уравнения движения могут быть записаны в виде:

. (4)

Так как , а всегда положительна, то равнодействующая , как и вызываемое ей ускорение , всегда расположены в соприкасающейся плоскости траектории, проведенной в данной точке, и направлены в сторону вогнутости траектории.

Отметим, что все уравнения динамики точки, рассмотренные выше, справедливы как для свободной, так и для несвободной точки. Во втором случае под равнодействующей понимается сумма равнодействующих как активных сил, так и реакций связей (смотри тему 1.1 “Введение в механику”). В отличие от активных сил, реакции связей, как правило, неизвестны.