3.5.9. Закон сохранения механической энергии
Обозначим кинетическую энергию системы в положениях и через и . Согласно теореме об изменении кинетической энергии системы:
.
С учетом соотношения (115) можно записать
,
или
.
(116)
Величина
,
(117)
равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией системы.
Уравнение (116) выражает закон сохранения полной механической энергии: при движении механической системы в потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной.
Отметим, что этот закон является частным случаем более общего физического закона сохранения энергии.
Механические системы, на которые действуют только потенциальные силы и для которых справедлив закон сохранения механической энергии, называются консервативными. Если же в число действующих на систему сил входят и непотенциальные силы, например, силы сопротивления, то полная механическая энергия будет убывать, преобразуясь в другие виды энергии.
3.5.10. Пример решения задачи на теорему об изменении кинетической энергии механической системы
Пример
6. Груз
весом
поднимается на нерастяжимом тросе,
переброшенном через блок
весом
,
и намотанным на барабан
весом
(рис. 29). К барабану приложен постоянный
по величине вращающий момент
.
Блок и барабан являются круглыми
однородными цилиндрами с радиусами
соответственно
и
.
Массой троса, а также трением в опорах
барабана и блока пренебречь.
Определить
скорость
и ускорение
груза
при подъеме его на высоту
,
если в начальный момент система находилась
в покое.
Р
ешение.
В состав данной механической системы входят груз , движущийся поступательно, блок и барабан , вращающиеся вокруг неподвижных осей и , а также гибкий, невесомый, нерастяжимый трос.
К
числу внешних сил и их моментов относятся
силы тяжести груза
,
, барабана
,
блока
,
реакции опоры блока
и опоры барабана
и вращающий момент
.
Применим теорему об изменении кинетической энергии в форме уравнения (109):
.
При
этом учитываем, что
,
так как в начальный момент по условию
задачи система покоилась, а сумма работ
внутренних сил на любом перемещении
системы равна нулю
,
так как в состав системы входят твердые
тела
и гибкий, невесомый, нерастяжимый трос.
Тогда будем иметь:
.
(a)
Кинетическая энергия системы равна
,
(b)
где
- кинетические энергии груза, блока, и
барабана, соответственно равные
,
,
.
(c)
Здесь
использованы формулы (88), (89),
и
- угловые скорости вращения блока и
барабана,
,
- моменты инерции блока и барабана
относительно осей их вращения.
Угловые скорости и определятся как
,
,
поскольку в силу нерастяжимости троса все его точки в данный момент имеют одинаковые по модулю скорости, равные скорости подъема груза .
Кроме того, предполагаем, что проскальзывание между тросом и блоком, а также между тросом и барабаном отсутствует.
Моменты инерции блока и барабана соответственно равны:
,
.
Подставляя значения , , и в формулы (с) и (b), получим:
.
(d)
Определим теперь сумму работ внешних сил и моментов на перемещении системы, соответствующем подъему груза на высоту :
.
(е)
Здесь использованы формулы (107) и (100); где - угол поворота барабана , связанный с высотой подъема груза следующей зависимостью:
.
Отметим
также, что работы сил
равны нулю, поскольку точки приложения
этих сил
и
неподвижны.
Окончательно будем иметь:
,
,
.
Вопросы для самопроверки по теме 3.5
Дайте определение кинетической энергии точки, системы.
Сформулируйте теорему Кенига.
Как определяется кинетическая энергия твердого тела, совершающего поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси, плоское движение?
Что такое элементарная работа силы? Какие формулы определяют элементарную работу?
В каких случаях элементарная работа силы равна нулю?
Как определяется конечная работа силы?
Определите работу равнодействующей.
Чему равна работа силы тяжести материальной точки, твердого тела, системы?
Чему равна работа силы упругости?
Определите элементарную работу силы, а также системы сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и интегральной формах.
Решите самостоятельно задачи 38.4, 38.14, 38.20, 38.27, 38.41, 38.45 из [3].
Дайте определение силового поля. Приведите примеры силовых полей.
Когда силовое поле считается потенциальным?
Определите работу потенциальных сил при перемещении материальной точки в потенциальном силовом поле.
Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии.
Что называется консервативной механической системой?
Как изменяются потенциальная и кинетическая энергия при колебаниях математического маятника?