Игры двух лиц с нулевой суммой

Пусть в игре участвует два игрока AиБ, партия состоит из одного хода игрокаAи ответного хода игрокаБ. Ход игрокаAзаключается в выборе одной изnвозможных стратегий. Ход игрокаБсо­стоит из выбора одной изmвозможных стратегий. Каждая партия игры состоит в том, что партнеры выбирают по одной своей стра­тегии, в результате чего определяются платежи игрокам. Пусть игрокAвыбирает стратегию, игрокБ - стратегию. В результате осуществ­ления операции платеж игрокаAигрокуБсоставляет, а платеж игрокаБигрокуA. Такая игра является игрой с нулевой суммой, так как выигрыш игрокаАравен проигрышу игрокаБ.

Игры, для которых сумма платежей одинакова для всех возмож­ных партий, называются играми с нулевой суммой.

Итак, мы рассматриваем конечную игру двух лиц с нулевой сум­мой. Для нее можно составить матрицу платежей, которая полностью ха­рактеризует игру.

Игра, заданная платежной матрицей, называется прямоуголь­ной или матричной игрой, приведенной к нормальной форме.

В каждой партии игрок Aстремится так выбрать свою стратегию, чтобы величина его платежа была минимально возможной. В свою очередь игрокБстремится так выбрать стратегию, чтобы максимизи­ровать выигрыш. Задача состоит в том, чтобы указатьоптимальные стратегиикаждой стороны, т.е. такие стратегии, которые при многократ­ном повторении игры обеспечиваютБмаксимально возможный средний выигрыш, а игрокуА- минимально возможный средний проигрыш.

Решение игровых задач основывается на принципе минимакса. Этот принцип предписывает игрокам выбирать свою стратегию в расчете на наихудший для себя образ действий противника. Суть этого принципа понятна из следующих рассуждений.

Рассмотрим ситуацию с позиции игрока A. На каждую выбранную стратегиюигрокБответит такой стратегией, чтобы максимизиро­вать выигрыш

.

Следовательно, из всех возможных стратегий игроку Аследует выбрать такую, чтобы минимизировать проигрыш. В этом случае

.

Определенная так величина aназываетсяверхней ценой игрыилиминимаксом, а стратегия- минимаксной стратегиейA. Верхняя цена игры - это тот гарантированный уровень, больше которогоAне заплатит при любом поведенииБ, если будет применять свою минимаксную стра­тегию.

Рассмотрим теперь ситуацию с позиции игрока Б . При каждой стратегиисторонаAприменит такую стратегию, чтобы проиграть как можно меньше :

.

Следовательно, наилучший из наихудших для Бвариантов отве­чает такой стратегии, что

.

Величина b, определенная таким образом, называетсянижней це­ной игрыили максимином. Нижняя цена игрыb- гарантированный выигрышБпри любом ответеA.

Если

,

то минимаксные стратегии игроков являются оптимальными, т.е. если один из игроков воспользуется минимаксной стратегией, а другой не сле­дует своей минимаксной стратегии, то это может только уменьшить вы­иг­рыш (увеличить проигрыш) этого игрока.

В общем случае .

Равновесие пары стратегий определяется для игры двух лиц так же, как и в общем случае игры nлиц. То, что платеж описывается ска­лярной величиной, а не вектором, упрощает дело.

Ситуация равновесия пары стратегий известна так же, как седловая точка.

Def. Седловой точкойназывается некоторый элементматрицы платежей Rтакой, чтопри любыхi, j.

Таким образом, седловая точка одновременно является наиболь­шим элементом строки kи наименьшим элементом столбцаl.

Если в некоторой игре существует более одной седловой, то пред­ставляет интерес следующая теорема.

Теорема. Пусть и-седловые точки.Тогда итакже являются седловыми точками и, кроме того .

Кратко данную теорему можно выразить так: седловые точки экви­валентны и взаимозаменяемы.

Следует отметить, что сформулированное свойство не распростра­няется на другие игры, т.е. не выполняется для игр с ненулевой суммой или для игр трех и более лиц.

Теорема.Пусть-седловая точка игры с матрицейR.Тогда.И наоборот,если,то существует седловая точка,причем.

Если , то матричная игра не имеет седловой точки, и мини­максные стратегии не дают решения игры, так как не являются наилуч­шими ни для одной из сторон. В этом случае говорят, что игра не имеет решения в чистых стратегиях.