Предпочтение и полезность

Хотя теоретические построения предполагают определенные структурные свойства у изучаемых объектов, теория предпочтений исхо­дит только из двух гипотез.

Во-первых, предполагается, что множество вариантов решения, стратегий или способов поведения не является пустым. Часто это множество содержит недопустимые альтернативы вследствие, например, того, что трудно идентифицировать все допустимые альтернативы с по­мощью какой-либо простой процедуры, или потому, что некоторые недо­пустимые альтернативы могут потребоваться при измерении или масшта­бировании полезности.

Во-вторых, предполагаетсябинарность предпочтений, что нахо­дит выражение во введении отношения «предпочтение - или - безраз­ли­чие» (нестрогого предпочтения) на множестве альтернатив.

Бинарное отношение является фундаментальным понятием теории предпочтений, поэтому изложим некоторые положения теории бинарных отношений.

Бинарное отношение R на непустом множестве X есть подмно­жество всех упорядоченных пар элементов из X. Множество всех упорядоченных пар задается прямым произведением

Запись (читается "xнаходится в отношенииRкy") означает, что пара(x,y)принадлежитR. Аналогичноне (записывается как) означает чтоxне находится в отношенииRкy, а пара(x,y)не принадлежитR.

Пусть x,yиzявляются элементами множестваX. Тогда для би­нар­ного отношенияRможно ввести восемь свойств, которые обычно разделяют на четыре группы.

1. Рефлексивность и нерефлексивность.

Бинарное отношение Rна множествеXявляетсярефлексивным, еслидля каждого;нерефлексивным, еслидля каждого.

2. Симметричность и асимметричность.

Бинарное отношение Rна множествеXявляетсясимметричным, если изследует;асимметричным, если изследует.

3. Транзитивность и отрицательно транзитивность.

Бинарное отношение Rна множествеXявляетсятранзитивным, если изиследует;отрицательно транзитивным, если изиследует.

IY. Связность и слабая связность.

Бинарное отношение Rна множествеXявляетсясвязным (сильно связным илиполным), если для любыхвыполняетсяили;слабосвязным, если изиследуетили.

Слабосвязное отношение иногда называют полным или прос­то связным.

Два свойства первой группы являются противоречивыми, т.е. не мо­гут выполняться одновременно, но этого нельзя утверждать отно­си­тель­но свойств остальных трех групп. Например, асимметричность и от­ри­ца­тель­ная транзи­тив­ность означают транзитивность; связность влечет сла­бую связность. Сим­мет­рич­ность и асимметричность имеют место од­но­вре­менно, если Rпусто; если жеRне пусто, то эти свойства являются противоречивыми.

Транзитивное бинарное отношение называетсяупорядочениемилиотношением порядка.

Пример

Пусть X- множество всех людей.

Отношение «выше, чем» яв­ляется нерефлексивным, асимметрич­ным, транзитивным и отрицательно транзитивным.

В теории предпочтений используются два основных бинарных от­но­шения на множестве X:отношение предпочтенияинестрогогопредпочтения .

Запись читается «xпредпочтительнее, чемy, либо безраз­ли­чен кy»; иногда пользуются формулировкой «yне предпочтительнее, чемx». Записьчитается «xпредпочтительнее, чемy».

Выбрав одно из отношений предпочтения в качестве основного на мно­жестве X, не­слож­но ввести и другое. Что взять в качестве основного бинарного отношения зависит от личных вкусов исследователя.

Для того, чтобы отношение предпочтения являлось упоря­до­че­ни­ем, необ­хо­дима его транзитивность, что кажется разумным.

Несмотря на очевидную разумность предположения о транзитив­нос­ти пред­почтений, имеется достаточно много примеров, из которых вид­но, что здра­вомыслящие люди могут иметь нетранзитивные пред­поч­те­ния в некоторых ситуациях. Альтернативы, используемые для ил­люст­ра­ции этого факта, обычно включают несколько критериев или харак­тер­ных признаков.

Пример

Пусть молодому ученому предлагается выбрать место работы из сле­дую­щих альтернатив:

x: ассистента в очень известном университете с окладом 3500 $;

y: доцента в университете штата N с окладом 3800 $;

z: профессора в малоизвестном колледже с окладом 4100 $.

Ученый считает, что , рассудив, что престиж стоит боль­ше, чем 300 $ , но, сравниваяxиz, он чувствует, что зани­мае­мый пост и величина оклада перевешивают престижность, и полагает, что. Таким об­ра­зом, в описанной ситуации его предпочтения образуютцикл

.

Приведенный пример хорошо иллюстрирует проблему, возникаю­щую в теории выбора, а именно то, что бинарное отношение не дает путеводной нити для выхода из цикла, т.е. не позволяет сделать выбор между x,yиz, когда каж­дая альтернатива менее предпочтительна, чем некоторая другая.Здесь нет са­мой предпочтительной альтернативы.

Отношение безразличия тоже может быть как транзитивно, так и не тран­зи­тивно на X.

В случае, если предпочтения не образуют циклов, а безразличие не пред­по­лагается транзитивным, каждое непустое конечное множество Xсодержит максимально предпочитаемую альтернативу, т.е. одна из аль­тер­натив не менее предпочтительна, чем любая другая из данного мно­жест­ва. В этом случае са­мую предпочтительную альтернативу можно вы­делить с помощью некоторого численного представления предпочте­ний, при котором, если.

Численное представление предпочтений - функциюназы­ва­ют полезностью.

Говорят, что бинарное отношение являетсяслабым упорядо­че­нием, если отношенияитранзитивны.

Пусть на множестве Xотношениеявляется слабым упорядо­че­нием. Тогда, поскольку отношениетранзитивно, оно является отноше­нием экви­ва­лентности (транзитивным, симметричным, рефлексивным) и, следовательно, может быть использовано для разделения (разбиения) мно­жестваXнаклассы эквивалентности, или классы безразличия. Такие классы представляют собой непустые множества наX,причем, еслиAиB- два различных класса иxA, аyB, тоxyтогда и только тогда, когдаA=B; если же, тодля любых.

Пусть u - вещественная функция, определенная на X.

Функция uназываетсяфункцией полезностидляX, еслидля любыхxиy , таких, что.

Функция uназываетсясовершенной функцией полезностидля отно­ше­ния предпочтениянаX, если для всехxиy изX справедливо неравенствотогда и только тогда, когда.

Пусть отношение наXявляется слабым упорядочением, для ко­торого определена совершенная функция полезностиu . Тогдаxy, если и только. Отсюда следует, что классы безразличия наXсовпадают с под­мно­жествами альтернатив, имеющими равную полез­ность. Экономисты иногда используют термин «карта безразличия», или «карта обмена», понимая под этим набор классов безразличия.

Множество Xназываетсяисчислимым, если оно конечно или счетно (т.е. его элементам можно поставить во взаимно однозначное со­ответствие натуральные числа).

Неисчислимымназывается множество, которое не является ис­чис­лимым, т.е. ни конечным, ни счетным.

Пусть множество Xисчислимо. Тогда для отношения  на X функция полезности существует тогда и только тогда, когда отноше­ние  ациклично(т.е. нет такого набораизX, для которого выполняется).

Совершенная функция полезности для отношения  на X су­щест­вует тогда и только тогда, когда отношение  - слабое упорядочение.

Если отношение  является слабым упорядочением, функция по­лезности на X существует тогда и только тогда, когда существует совершенная функция полезности для отношения  на X, причем это утверждение справедливо для множестваXлюбых размеров (исчислимо­го или неисчислимого).

Если u- совершенная функция полезности для отношения пред­поч­тениянаX,некоторая функцияvтакже является совершенной функ­цией полезности для отношения пред­поч­тениянаXтогда и только тогда, когда для любыхxиyизXнеравенствосправедливо тогда и только тогда, когда

.

Пример.

Пусть

Тогда u и v- совершенные функции полезности отношениянаX. То, что в одном случае полезностьyравна 99, а в другом случае только 1, не имеет принципиального значения.