- •Лекция №1 Введение в системный анализ
- •Основные понятия теории систем
- •Лекция №2 Модели систем
- •Структурный анализ систем
- •Элементы теории графов
- •Алгебраическое представление графа
- •Лекция №3 Ранжирование элементов систем
- •Лекция №4 Элементы теории сетей
- •Сетевое планирование
- •Лекция №5 Функциональные модели
- •Организации
- •Лекция №6 Тезаурус
- •Управление
- •Программное управление
- •Адаптивное управление
- •Лекция №7 Рефлексивное управление
- •Развитие
- •1. Линейные связи
- •2. Ограничивающие связи
- •3. Запаздывающие связи
- •4. Селектирующие связи
- •Лекция №8 Информационное описание
- •Лекция №9 Исследование операций
- •Элементы теории игр
- •Игры двух лиц с нулевой суммой
- •Лекция №10 Смешанные стратегии
- •Методы определения оптимальных стратегий
- •Итерационный метод решения игр
- •Лекция №11 Игры двух лиц с ненулевой суммой
- •Игры nлиц
- •Игровое моделирование
- •Лекция №12 Теория полезности История вопроса
- •Предпочтение и полезность
- •Лекция №13 Теория ожидаемой полезности
- •Аксиомы для линейной функции полезности
- •Субъективная вероятность
- •Лекция №14 Теория принятия решений
- •Аксиомы теории принятия решений
- •Прогнозирование
- •Лекция №15 Автоматизированные системы управления процессами
- •Лекция №16 Системы искусственного интеллекта
- •Экспертные системы
- •Приложение 1 Элементы булевой алгебры
- •Приложение 2 Общие сведения об операторах
- •Содержание
Аксиомы теории принятия решений
Прежде, чем сформулировать аксиомы, введем принятые в этой теории обозначения и определения.
Простой лотереейназовем вероятностное событие, имеющее два возможных исходаи, вероятности наступления которых равныpи(1-p), соответственно.
Символами будем, как и прежде, обозначать отношения строгого предпочтения, эквивалентности и нестрогого предпочтения, соответственно. Например, запись~означает, что исходэквивалентен лотерее.
Аксиома 1.Существование относительных предпочтений.
Для любой пары исходов ивыполняется одно из соотношений предпочтения:
~, или, или.
Аксиома 2.Транзитивность.
Для любых лотерей ,исправедливы следующие утверждения:
а) если ~и~, то~;
в) если и~, тои т.д.
Поскольку исход можно интерпретировать как случай вырожденной лотереи (при p=1), то аксиомы 1 и 2 вместе означают, что лицо, принимающее решения, может произвести ранжирование относительного предпочтения различных возможных исходов. Пусть- исход, который не является более предпочтительным, чем любой другой, а- исход, который не является менее предпочтительным, чем любой другой. Тогда для всех допустимыхxвыполняются соотношения, т.е.иозначают соответственно наименее и наиболее предпочтительные исходы. Следует отметить, что это могут быть гипотетические исходы.
Аксиома 3.Сравнение простых лотерей.
Если для лица, принимающего решения, , то
при ;
при .
Аксиома 4.Численная оценка предпочтений.
Каждому возможному исходу xлицо, принимающее решения, может поставить в соответствие число(где), такое, что
x~.
Аксиомы 3 и 4 определяют для лица, принимающего решения, меру относительного предпочтения различных исходов , называемую вероятностью предпочтения.
Аксиома 5.Численная оценка неопределенности суждений.
Каждому возможному событию E, которое может влиять на исход решения, можно поставить в соответствие числоP(E), гдетакое, что становятся равноценными лотереяи ситуация, при которой лицо, принимающее решения, получает, если происходит событиеE, и, если событиеEне происходит. ЗначениеP(E)определяется лицом, принимающим решения.
Аксиома 6.Возможность замены.
Если модифицировать задачу принятия решения путем замены одного исхода (или лотереи) другим исходом (или лотереей), которые равноценны для лица, принимающего решение, то обе задачи (старая и модифицированная) будут равноценны для этого лица.
Аксиома 7.Эквивалентность условного и безусловного предпочтений.
Пусть и- лотереи, возможные только при наступлении событияЕ. Если известно, наступит событиеЕили нет, то лицо, принимающее решение, должно иметь те же предпочтения междуи, как и при отсутствии этой информации.
Прогнозирование
Подпрогнозированием(в широком смысле) понимают предсказание поведения и характеристик системы в будущем на основе наших знаний о настоящем и прошлом системы, или, как часто говорят, предыстории.Подпрогнозированием (в узком смысле) понимают предсказание значений входных параметров системы, т.е. характеристик внешней среды или системы в целом.В дальнейшем мы не будем разделять эти понятия, так как в каждом конкретном случае из контекста будет ясно, что мы имеем в виду.
В простейшем случае прогнозирование основано только на имеющихся данных и проводится лишь один раз. Однако на практике часто от момента принятия решения до осуществления операции проходит значительное время, за которое ситуация может заметно измениться. Поэтому разработан ряд методов, предусматривающих возможность по мере поступления информации об изменении значений входных параметров корректировать выбор варианта операции.
Важнейшим параметром прогноза является время упреждения, от которого сильно зависит надежность (точность) прогноза и другие параметры модели.Под временем упреждения понимают величину интервала времени между моментом завершения операции и моментом принятия решения.Естественно, что, чем больше время упреждения, тем менее надежен прогноз и больше необходимость его уточнения по мере поступления новой информации. Для этого время упреждения разбивается наnвременных интервалов, которые определяют величину промежутков времени между измерениями входных переменных с целью проверки и уточнения ранее сделанных прогнозов. Величина этих временных интервалов зависит от характера и от скорости изменения измеряемых входных переменных.
Таким образом, исходные данные часто представляют собой ряд последовательно во времени измеренных значений переменных, которые в литературе называют временными рядами.
Можно выделить два вида прогнозируемых характеристик системы, зависящих от времени: переменные состояния и переменные интенсивности. Переменная состоянияопределяется периодически, и ее значение в течение небольшого интервала временине зависит от времени, прошедшего с момента начала наблюдения.Переменная интенсивноститакже определяется периодически, но ее значениепропорционально времени, прошедшему с момента предыдущего наблюдения. Такие характеристики системы, как температура, скорость, цена являются примерами переменной состояния. Примерами переменной интенсивности являются количество выпавших осадков, проданных экземпляров изделия, спрос и т.п.
Если переменная состояния характеризует количество, то переменная интенсивности - скорость его изменения.
Процессы прогнозирования переменных состояния и интенсивности отличаются друг от друга следующими особенностями:
Если измерения характеристик проводятся через разные интервалы времени, то величину интервала необходимо учитывать только при оценке переменных интенсивности;
Правильный прогноз переменной состояния должен определять ее значение в конце времени упреждения, а прогноз переменной интенсивности должен представлять собой сумму прогнозов на протяжении времени упреждения;
Функция распределения во времени вероятностей ошибок прогноза для переменной состояния соответствует функции распределения вероятностей ошибок в исходных данных;
для переменной интенсивности закон распределения вероятностей ошибок прогноза во времени стремится к нормальному при любом законе распределения вероятностей ошибок в исходных данных, так как эти ошибки представляют собой сумму ошибок прогноза в отдельные интервалы времени.
Методы прогнозирования могут быть разделены на три группы: статистические (описательные), причинно-следственные и комбинированные.
Для изучения исследуемого процесса следует задать закон изменения входных переменных во времени. Выходные переменные системы могут быть описаны с помощью некоторой модели. По такой модели, включающей описание предыстории системы, прогноз можно составить путем расчета состояния системы для некоторого будущего момента времени. Если удается построить модель окружающей среды, позволяющую выявить причины изменений в системе (вторая группа методов), то прогноз, полученный с помощью такой модели, объясняетбудущее системы.
Прогнозы на основе анализа причинно-следственных связей используются главным образом для предсказания моментов появления экстремумов в рассматриваемой временной зависимости переменных системы и значений переменных в экстремальных точках. Пример такого прогноза представляют кривые жизненного цикла любой продукции.
Спрос на любую продукцию имеет фазы начального роста, наивысшего уровня и спада. Во время последней фазы продукция исчезает с рынка. Подобные модели точно описывают историю спроса на продукцию, но не дают достаточно твердой основы для предсказания момента перехода из одной фазы спроса в другую.
Статистический прогнозв лучшем случае позволяет делать вероятностные утверждения о возможных появлениях экстремумов в рассматриваемой временной зависимости переменных системы и о значениях переменных в экстремальных точках.
В задачах прогнозирования предполагают, что в момент времени Tзадана последовательность результатов наблюденийдля некоторого множества моментов времени. Прогнозирующая модель задает множество выходных переменных, где>0- время упреждения. В общем виде выражение для модели можно записать в виде
,
где вектор представляет собой коэффициенты модели, получаемые по результатам наблюдений до моментаTвключительно, а матрицаF- набор аппроксимирующих функций. Строки матрицы соответствуют элементам модели, а столбцы – моментам времени. В большинстве практических приложенийFопределяет время относительно момента самого последнего наблюдения, а значения коэффициентовaзависят от выбора начала отсчета времени.
Весьма общий и, пожалуй, наиболее распространенный класс моделей составляют полиномиальные, т.е. такие модели которые могут быть представлены с помощью вещественных полиномов
и т.д.
Математические методы позволяют представить прогнозирующую модель в виде полинома любого порядка. Однако обычно в экономических задачах нет необходимости в использовании полиномов высокого порядка. Довольно часто для анализа локальных изменений в наблюдаемых данных достаточно использовать полином первой степени (прямую линию). Подгонка прямой линии для конкретного ряда прогнозируемых данных производится путем варьирования величины второго коэффициента, отражающего тенденцию изменения временного ряда за длительный период времени (вековой тренд). Если величина этого коэффициента мала, то и его можно исключить из модели.
На практике часто встречаются периодические процессы. Так, например, спрос на некоторую продукцию может меняться по циклам, повторяющимся каждый торговый сезон. Включение подобных периодических (сезонных) колебаний в модель повышает эффективность прогноза и позволяет лучше предсказывать ожидаемые высокие и низкие значения прогнозируемых переменных. Соответствующие модели называются сезонными моделями.
Основной подход в сезонных моделях заключается в представлении циклических изменений прогнозируемой переменной рядами Фурье
,
где и- коэффициенты, полученные по исходным данным с помощью соответствующей регрессии,=2f - основная частота,f- число наблюдений в одном сезонном цикле,t -время, за которое должен быть выдан прогноз, а суммирование ведется по всем частотам вплоть до частоты Найквиста (наивысшей частоты гармонического разложения дискретного ряда, которая определяется половиной интервала между наблюдениями).
Строгая периодичность в реальных задачах встречается редко. В общем случае необходимо использовать модели, предусматривающие сочетание полиномиальных трендов и циклических изменений.
На практике подобные модели оказываются слишком сложными для ручного счета. Поэтому существуют специальные пакеты программ для ЭВМ, при работе с которыми большинство пользователей не испытывают необходимости в понимании существа вычислительных процедур.
В вероятностных моделяхнаиболее часто используется предположение о том, что наблюдаемые величины принадлежат некоторому распределению (вид его задается), а параметры этого распределения и их изменение во времени нужно определить.
Другим вероятностным представлением является модель в виде частотного распределения с параметрами для относительной частоты наблюдений, попадающих вj-й интервал. При этом, если в течение принятого времени упреждения не ожидается изменения распределения, то решение принимается на основании измеренного эмпирического частотного распределения.