- •Лекция №1 Введение в системный анализ
- •Основные понятия теории систем
- •Лекция №2 Модели систем
- •Структурный анализ систем
- •Элементы теории графов
- •Алгебраическое представление графа
- •Лекция №3 Ранжирование элементов систем
- •Лекция №4 Элементы теории сетей
- •Сетевое планирование
- •Лекция №5 Функциональные модели
- •Организации
- •Лекция №6 Тезаурус
- •Управление
- •Программное управление
- •Адаптивное управление
- •Лекция №7 Рефлексивное управление
- •Развитие
- •1. Линейные связи
- •2. Ограничивающие связи
- •3. Запаздывающие связи
- •4. Селектирующие связи
- •Лекция №8 Информационное описание
- •Лекция №9 Исследование операций
- •Элементы теории игр
- •Игры двух лиц с нулевой суммой
- •Лекция №10 Смешанные стратегии
- •Методы определения оптимальных стратегий
- •Итерационный метод решения игр
- •Лекция №11 Игры двух лиц с ненулевой суммой
- •Игры nлиц
- •Игровое моделирование
- •Лекция №12 Теория полезности История вопроса
- •Предпочтение и полезность
- •Лекция №13 Теория ожидаемой полезности
- •Аксиомы для линейной функции полезности
- •Субъективная вероятность
- •Лекция №14 Теория принятия решений
- •Аксиомы теории принятия решений
- •Прогнозирование
- •Лекция №15 Автоматизированные системы управления процессами
- •Лекция №16 Системы искусственного интеллекта
- •Экспертные системы
- •Приложение 1 Элементы булевой алгебры
- •Приложение 2 Общие сведения об операторах
- •Содержание
Игры nлиц
В играх nлиц, как и в играх двух лиц с ненулевой суммой, различают кооперативные игры и игры без кооперации.
Если кооперация запрещена, то игра nлиц очень похожа на игру двух лиц.
В кооперативных играх nлиц главное – этоформирование коалиций, а не поиск стратегий в самой игре. Такие игры обычно изучают в формехарактеристической функции.
По существу, характеристическая функция указывает, какую полезность члены коалиции могут себе гарантировать (если коалиция сформирована). При этом предполагается, что полученную полезность можно поделить между членами коалиции любым желаемым способом (условие побочных платежей).
Обозначим через множество игроков в игреnлиц. Тогдахарактеристической функциейназывается функцияv,которая каждому подмножеству ставит в соответствие действительное число v(S) и удовлетворяет условиям
.
Второе условие, известное как супераддитивностьфункции, иногда заменяют более слабым
Игру отождествляют с функцией v. Элементы множестваN– этоигроки, анепустые подмножества изNназываютсякоалициями.
Дележомдля игры n лиц с характеристической функцией v называется вектор ,удовлетворяющий условиям
Из определения характеристической функции следует, что
. (1)
Если в формуле (1) имеет место равенство, то игра имеет только один дележ, и такую игру будем называть несущественной, так как формирование коалиций в ней не имеет значения. Если в формуле (1) выполняется строгое неравенство, то игра называетсясущественнойи в ней существует бесконечное количество дележей.
S-эквивалентная нормализация.
Две игрыuиvназываются S-эквивалентными, если существует строго положительное числоα>0 и вектор,такие, что для любогосправедливо равенство
.
Все свойства допустимого решения сохраняются при S-эквивалентности. Таким образом, достаточно изучить по одной игре для каждогоS-эквивалентного класса.
Игра vнормализована в форме(0,1) , если
.
Теорема. Любая существенная игра S-эквивалентна одной и только одной игре в нормализованной (редуцированной) форме (0,1) .
Эта теорема позволяет ограничиться рассмотрением только (0,1)нормализованных игр.
Пусть задана игра v.Будем говорить, что дележxдоминируетдругойдележy(обычно обозначается как), если существует непустое множество, такое, что
.
Ядром игрыназывается множество всех недоминируемых дележей.
К сожалению, широкий класс игр имеет пустое ядро.
Устойчивым множеством(решением фон Неймана - Моргенштерна)называется множество дележей Vтакое, что:
а) из следует, что не может иметь места;
б) если z является дележом, но , то существует платеж такой, что .
Следует отметить, что, хотя большинство игр имеет много устойчивых множеств, существуют игры, у которых нет устойчивых множеств.
В общем случае ядро является подмножеством каждого устойчивого множества.
Если же ядро само устойчиво, то оно представляет собой единственное устойчивое множество.
Значением игры по Шеплиявляется априорное математическое ожидание выигрыша, который игрок предполагает получить, участвуя в игре.
Значение игры по Шепли вводится аксиоматически как отображение множества игр nлиц на множествоn-мерных векторов (платежей), которое имеет следующие свойства:симметрия(если игра симметрична, ее значение должно быть симметрично);эффективность(множество всех игроков, которые делают вклады для участия в игре, полностью отображается во множество платежей, получаемых игроками);аддитивность(значение суммы двух игр равно сумме их значений). Можно доказать, что только одно значение игры удовлетворяет аксиомам Шепли, а именно вектор, задаваемый формулой
где sиn- числа игроков вSиNсоответственно.
Множество сделок представляет собой еще один подход к построению устойчивых множеств. При этом предполагается, что коалиции сформированы, после чего рассматриваются векторы выигрышей, которые будут устойчивыми в особом смысле:ни одному игроку нельзя пригрозить так, чтобы в результате уменьшилась его доля выигрыша.
Коалиционной структурой в игре nлиц называется разбиение множества игроков N на взаимно непересекающиеся подмножества, объединение которых дает N:
Индивидуально-рациональной конфигурацией выигрышаназывается пара ,гдеT– коалиционная структура, а - вектор, удовлетворяющий условиям
Если T– коалиционная структура и, топартнерамиигрокаiвTявляется множество игроков, такое, что. Записывается это в виде.
Пусть - индивидуально-рациональная конфигурация иk и lявляются партнерами вT. Тогдаугрозой игрока k против l называется другая индивидуально-рациональная конфигурация такая, что
а) если , то;
б) .
Контругрозой игрокаlпротивkназывается некоторая третья индивидуально-рациональная конфигурация,такая, что
а) если , то,
б) если , то,
в) .
Индивидуально-рациональная конфигурация выигрыша, при которой для каждой угрозы k против l у игрока l имеется контругроза против k , называется устойчивой.
Множеством сделокназывается множество всех устойчивых индивидуально-рациональных конфигураций выигрыша.
Это множество не пусто в строгом смысле, т.е. для любой коалиционной структуры Tсуществует по крайней мере один дележx,такой, что.
Различные множества сделок можно получить, изменяя виды угроз. Так, например, можно вводить в рассмотрение угрозы одной группы игроков против некоторой другой группы или угрозы отдельного игрока против некоторого игрока, который не является его партнером по коалиции.