18.Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона

Пусть к телу приложена некоторая плоская система сил F'₁, F'₂ … F'_n. Приводя эту систему сил к произвольно выбранному центру О, получим одну силу , приложенную в точке О, и одну пару с моментом (рис.5.5)

Рис.5.5.

Эта сила R' не является равнодействующей данной системы сил. Чтобы найти равнодействующую, нужно привести эту систему к одной эквивалентной силе. Для этого преобразуем полученную пару с моментом М_О так, чтобы силы этой пары оказались равными по модулю силе R'. При этом нужно соответственно изменить плечо этой пары так, чтобы ее момент М_О оставался неизменным. Далее переместим преобразованную пару так, чтобы одна из ее сил оказалась приложенной в точке О и направленной противоположно силе R'. После этого получим пару, изображенную на рисунке 5.5. причем R'= R. Если обозначим плечо этой пары через d, то будем иметь . Данная плоская система сил эквивалентна силе R' и паре (R,- R), но силы R' и – R уравновешиваются, поэтому данная система сил эквивалентна одной силе R, приложенной в точке О'. Следовательно, эта сила R является равнодействующей данной системы сил. Так как R'= R, то равнодействующая плоской системы сил равна по модулю и направлению главному вектору этой системы. Причем . Произведение Rd равно по абсолютной величине и знаку, моменту равнодействующей R относительно точки О. Следовательно, , с другой стороны , откуда получим:

Это равенство выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любого центра, лежащего в плоскости этих сил, равен алгебраической сумме моментов сил этой системы относительно того же центра.

Отсюда следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.

Теперь рассмотрим, как будет меняться главный момент данной системы сил при изменении центра приведения.

Пусть к телу приложена плоская система сил F₁, F₂, …, F_n. Выберем центр приведения О и рассмотрим одну из сил F_i данной системы (рис.5.6).

Рис.5.6.

Перенося точку приложения этой силы в точку О, получим силу F'_i= F_i и присоединенную пару (F_i,F_i''). Если обозначим плечо силы F_i относительно точки О через h_i, то

Возьмем в качестве нового центра приведения точку О₁ и опустим из этой точки перпендикуляр О₁а_i на линию действия силы F_i. Точку пересечения этого перпендикуляра с линией действия силы F'_i обозначим b_i. Откуда

Из рис.5.6 получим:

Но , а потому

Аналогичные равенства можно получить для остальных сил данной системы. Сложив все вместе, получим:

Если обозначим главные моменты данной системы сил относительно центров О и О₁ через М_О и М_О1, то и

Так как сила R', приложенная к в точке О и равная главному вектору данной системы сил, является равнодействующей сил F'₁, F'₂, …, F'_n, приложенных в той же точке, то по теореме Вариньона

Поэтому или =

Изменение главного момента плоской системы сил при перемене центра приведения равно моменту главного вектора этой системы, приложенного в прежнем центре приведения, относительно нового центра.