Вопрос 88. Закон Гука в общей форме

Рассмотрим частицу тела в форме прямоугольного параллелепипеда, на гранях которого действуют нормальные напряжения и касательные напряжения (рис.3).

С напряжением связано относительное удлинение в направлении оси х, равное:

И относительное поперечное укорочение в направлении осей х и у:

Полное относительное удлинение в направлении оси х равно:

Аналогичные выражения можно получить для остальных направлений осей. Умножив каждое выражение на Е, получим:

На основании закона Гука для касательных напряжений и соотношений:

можно записать:

Эти шесть уравнений выражают основные свойства идеально упругого тела или упругими уравнениями. Эти уравнения вместе со статическими уравнениями

Делают задачу определения напряжений и деформаций разрешимой, так как имеем систему из 9 уравнений с 9 неизвестными: шестью компонентами тензора напряжений и тремя перемещениями u, v, w, которые выражаются через шесть компонентов тензора деформаций.

Вопрос 89. Теории прочности

Поверхности скольжения, возникающие в материале после достижения приложенной нагрузки определенного значения, совпадают с направлениями наибольших касательных напряжений. Поэтому можно предположить, что в возникновении поверхностей скольжения, основную роль играет достижение касательным напряжением некоторого предельного значения. Если пренебречь явлением упрочнения, то начало течения материала в упруго-вязких материалах можно рассматривать как начало разрушения, а указанное касательное напряжение принять за величину, определяющую начало разрушения. Однако сделанное предположение об условиях разрушения, является не единственно возможной основой для создания теории прочности. Можно сделать и другие гипотезы об указанных условиях и построить другие теории прочности. Вопрос правильности этих теорий должен согласовываться с опытными данными.

Рассмотрим основные теории прочности.

1. Гипотеза наибольшего нормального напряжения.

Согласно этой гипотезе возникновение разрушения определяется достижением нормальным напряжением (растягивающим или сжимающим) некоторого предельного значения. Эта гипотеза – наиболее старая из всех существующих и наименее согласующаяся с опытными данными. Если бы гипотеза была верна во всех случаях, то изломы стержней были бы всегда перпендикулярны к оси стержня, что для случая упруго-вязких материалов не соответствует действительности. Кроме того материалы, подвергаемые всестороннему и одинаковому во всех направлениях сжатию, должны были бы разрушаться после достижения сжимающим напряжением предела прочности при сжатии, между тем в действительности, материалы подвергаемые только гидростатическому сжатию, не разрушаются даже при напряжениях в несколько раз превышающих предел прочности. Таким образом, гипотеза наибольшего нормального напряжения, не может считаться верной.

2. Гипотеза наибольшего касательного напряжения

Согласно этой гипотезе, разрушение материала происходит тогда, когда касательное напряжение достигает своего наибольшего значения. Теория прочности, основанная на этой гипотезе, была разработана Кулоном. Если главные напряжения в какой либо точке равны и если предположить, что , то наибольшее касательное напряжение будет равно:

Таким образом, согласно рассматриваемой гипотезе, среднее главное напряжение не оказывает влияния на возникновение разрушения. Теория прочности, основанная на этой гипотезе, хорошо согласуется с опытом, особенно для стали с хорошо выраженным пределом текучести. Однако, в ряде случаев опыт показал, что возникновение разрушения зависит также от величины среднего главного напряжения.

3. Гипотеза предельного упругого состояния.

Эта гипотеза, предложенная О. Мором, представляет собой сочетание гипотезы наибольшего нормального напряжения с гипотезой наибольшего касательного напряжения. Согласно теории прочности Мора, разрушение наступает тогда, когда достигается некоторая совокупность значений нормального и касательного напряжений, которая лежит на предельной кривой:

Эта кривая имеет для каждого материала определенный вид (рис.5). если в какой либо точке тела напряженное состояние таково, что соответствующий круг напряжений касается предельной кривой, то в этой точке возникает разрушение. Предельная кривая представляет собой огибающую всех кругов Мора, каждый из которых соответствует некоторому предельному состоянию упругого равновесия перед разрушением. Если огибающая состоит из двух прямых, параллельных оси и от стоящих друг от друга на расстоянии , то мы получим гипотезу наибольшего касательного напряжения (рис.5). Если же огибающей является прямая, параллельная оси , и от стоящая от нее на расстоянии , то мы получаем гипотезу наибольшего нормального напряжения.

Рис.5

4. Гипотеза наибольшего относительного удлинения

Согласно этой гипотезе, разрушение возникает тогда, когда относительное удлинение достигает некоторого предельного значения. Теория, основанная на этой гипотезе, не подтверждается опытом. Если бы эта теория была верна, то прочность образца, растягиваемого в одном направлении и сжимаемого в другом направлении, перпендикулярным к первому, должна бы уменьшаться, между тем наблюдения показывают, что такая нагрузка не меняет прочности материала.

Несмотря на такое противоречие с опытом, теория прочности, основанная на гипотезе наибольшего относительного удлинения, иногда применяется в расчетах.

5. Гипотеза наибольшей работы деформации.

Согласно этой гипотезе, возникновение разрушения определяется некоторым предельным значением удельной работы деформации, т.е. потенциальной энергии, накопленной в единице объема материала при деформации. Эта гипотеза и построенная на ней теория прочности исходят из того обстоятельства, что в упругой области материал при деформации накапливает потенциальную энергию в обратимой форме и что такая обратимость перестает иметь место, как только удельная работа деформации достигает некоторого предельного значения. Опыт не подтвердил правильность этой гипотезы.

5. Гипотеза наибольшей работы изменения формы.

Эта гипотеза используется в качестве основы исследований пластических деформаций в теории пластичности. Соответствующая теория прочности основана Генки и Мизесом. Гипотеза наибольшей работы изменения формы исходит из того факта, что гидростатическое сжатие, изменяющее объем тела, но оставляющее неизменной его форму, не вызывает разрушения материала. Следовательно, напряженное состояние, вызывающее, только изменение объема частицы тела без нарушения формы этой частицы, не может влиять на прочность материала. Поэтому, если в какой –либо точке тела напряженное состояние определяется главными напряжениями , то возникновение разрушения будет зависеть только от той части этого напряженного состояния, которая остается после выделения из него однородного напряженного состояния, соответствующего гидростатическому сжатию:

Оставшееся напряженное состояние вызывает только изменение формы частицы без изменения объема, и этому изменению формы соответствует работа изменения формы А^ф, которая равна:

Где G – модуль сдвига в законе Гука для касательных напряжений:

- угол сдвига.

Согласно гипотезе наибольшей работы изменения формы течение или разрушение материала начинается тогда, когда в какой-либо точке тела работа изменения формы достигает некоторого предельного значения, определенного для каждого материала. Следовательно, в теории прочности, построенной на основе этой гипотезы, на разрушение влияют все три нормальных напряжения. Опыты хорошо подтверждают эту теорию, и в настоящее время ее следует считать наиболее приемлемой для всех материалов с четко выраженным пределом текучести.

Допускаемые напряжения. Коэффициент безопасности

Рассмотренные теории прочности устанавливают или дают возможность найти предельные значения напряжений, при достижении которых происходит начало процесса разрушения материала. Эти предельные напряжения являются основой для выбора так называемых допускаемых напряжений, по которым ведутся все технические расчеты на прочность.

Допускаемое напряжение принимается равным некоторой доле от предельного напряжения . Обозначая допускаемое напряжение через мы будем иметь:

Величина n, показывающая, во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного напряжения, называется коэффициентом безопасности или запасом прочности. Установление допускаемых напряжений является важным практическим вопросом, правильное решение которого зависит от точности, с котрой известны нагрузки и напряжения конструкции. Указания о выборе допускаемых напряжений приводятся в стандартизованных документах (стандартах и нормалях).