Вопрос 29. Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона

Произвольная система сил в общем случае сводится к одной силе R', равной главному вектору этой системы сил, и к одной паре с моментом М_О, равным главному моменту той же системы сил относительно центра приведения. Эта сила R' не является равнодействующей для данной системы сил. Выясним, при каких условиях произвольная система сил приводится только к одной силе и имеет равнодействующую.

Очевидно, что если при приведении данной системы сил к какому-нибудь центру окажется, что ее главный момент относительно этого центра равен нулю, то данная система приводится только к одной силе R', приложенной в центре приведения. Следовательно, сила R' в этом представляет собой равнодействующую данной системы сил.

Если главный момент системы сил относительно данного центра равен нулю, а главный вектор этой системы не равен нулю, то система приводится к равнодействующей силе, равной главному вектору R' и приложенной в этом центре.

Если главный момент не равен нулю, то система приводится к одной силе (равнодействующей) только в том случае, когда М_О┴ R'. Т.е. когда главный момент относительно выбранного центра приведения О окажется перпендикулярным к главному вектору.

Рис.8.5.

Если главный момент М_О системы сил относительно центра приведения данного центра О перпендикулярен к ее главному вектору R', то эта система приводится к равнодействующей силе, равной главному вектору R', причем линия действия этой равнодействующей проходит через точку О', лежащую на прямой, перпендикулярной к плоскости, в которой расположены векторы М_О и R', на расстоянии от точки О, равном ОО'= М_О: R'

В этом случае главный момент относительно центра О' и относительно всякого центра лежащего на линии действия равнодействующей, равен нулю.

На основании теоремы об изменении главного момента при перемене центра приведения будем иметь:

Но момент силы R относительно точки О, как видно из рис.8.5, совпадает по модулю и направлению с моментом пары (R,- R), т.е. , следовательно, , откуда

Если , то проекция главного момента на направление главного вектора R' равна нулю, но эта проекция инвариантна по отношению к центру приведения. Поэтому, если , то проекция главного момента относительно любого центра, не лежащего на линии действия равнодействующей, направление главного вектора равна нулю, т.е. главный момент относительно любой точки, не лежащей на линии действия равнодействующей, перпендикулярен главному вектору.

Для произвольной системы сил также действительна теорема Вариньона.

Возьмем за центр приведения произвольную точку А и обозначим главный момент этой системы сил относительно данного центра через . Применяя теорему об изменении главного момента при перемене центра приведения получим:

, но , поэтому

Это равенство выражает теорему Вариньона в общем случае: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любого центра равен векторной сумме моментов всех сил этой системы относительно того же центра.

Если проведем через точку А какую либо ось х и спроектируем на эту ось, полученное векторное равенство, то получим:

Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов всех сил этой системы относительно той же оси.