Вопрос 42. Угловая скорость как вектор. Выражение линейной скорости и касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений

Рассмотрим угловую скорость как вектор. При этом вектор ω, изображающий угловую скорость тела, будем строить на оси вращения тела, направляя его вдоль этой оси в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на его начало, видеть вращение тела совершающимся против часовой стрелки. Модуль этого вектора равен абсолютной величине угловой скорости:

Точку приложения этого вектора (начало вектора) можно выбирать на оси вращения произвольно, т.е. угловая скорость это скользящий вектор.

Т.о. если задан вектор угловой скорости, то будут известны:

1. Положение оси вращения тела (прямая, на которой расположен вектор ω);

2. Направление вращения тела вокруг этой оси, определяемое направлением вектора ω по правилу винта;

3. Абсолютная величина угловой скорости тела, равная модулю вектора ω.

Угловое ускорение тела также можно представить в виде вектора. Производная от вектора угловой скорости по времени называется вектором углового ускорения тела и обозначается через ε.

Если примем ось вращения тела за ось z и обозначим через k орт этой оси, то:

Так как ось вращения тела неподвижна, то . Дифференцируя угловую скорость по времени, получим:

Отсюда следует, что если производные и имеют одинаковые знаки, то тело вращается ускоренно и векторы ω и ε направлены по оси вращения в одну и ту же сторону (рис.13.5а). Если производные и имеют разные знаки, то тело вращается замедленно, и векторы ω и ε направлены в противоположные стороны (рис.13.5б)

Рис.13.5.

Модуль вектора ε равен абсолютной величине производной :

Выведем векторную формулу для линейной скорости v какой-нибудь точки М вращающегося твердого тела (рис.13.6)

Рис.13.6.

Построим вектор ω, за начало которого возьмем точку О, лежащую на оси вращения z, и проведем из этой точки радиус вектор r точки М. Угол между осью z и радиус-вектором r обозначим через γ. Центр окружности, описываемой точкой М, обозначим через О₁, а радиус этой окружности через R. Так как вектор v перпендикулярен к оси z и к радиусу МО₁, то он плоскости треугольника ОМО₁. модуль этого вектора равен:

Из треугольника ОМО₁ имеем , следовательно . Правая часть этого равенства представляет собой модуль векторного произведения , поэтому .

Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. к плоскости треугольника ОМО₁, и направлен так, чтобы поворот вектора на угол γ до совмещения с вектором представлялся наблюдателю, смотрящему с конца вектора на плоскость ОМО₁, происходящим против часовой стрелки (рис.13.6). Отсюда следует, что векторы v и параллельны и направлены в одну и ту же сторону, а так как эти векторы имеют равные модули, то они равны между собой:

Линейная скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, проведенный из произвольно выбранной точки, лежащей на оси вращения тела.

Эта формула дает распределение скоростей в твердом теле, вращающемся вокруг данной оси. Дифференцируя векторное произведение по времени, получим:

Но производная по времени от радиуса вектора точки М равна скорости этой точки, следовательно, , а производная есть вектор углового ускорения, поэтому:

Эта формула дает разложение ускорения точки М на две составляющие. Рассмотрим каждое из слагаемых в правой части этой формулы в отдельности. Пусть векторы и обозначают соответственно касательное и нормальное ускорения точки М (рис.13.7).

Рис.13.7.

При ускоренном вращении тела векторы ω и ε направлены по оси вращения в одну и ту же сторону (рис.13.7а). Тогда из сравнения векторов и следует, что эти векторы параллельны и имеют одинаковое направление. При замедленном вращении, когда векторы ω и ε направлены по оси z в противоположные стороны, векторы и имеют противоположные направления.

Таким образом, направление вектора совпадает с направлением скорости точки М или противоположно этому направлению в зависимости от того движется ли эта точка ускоренно или замедленно. Следовательно, направление вектора всегда совпадает с направлением касательного ускорения . Очевидно, эти два вектора имею и равные модули, следовательно, векторы и , имеющие равные модули и одинаковое направление равны между собой:

Касательное ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению углового ускорения тела на радиус-вектор этой точки, лежащей на оси вращения тела.

Рассмотрим теперь вектор . Если перенесем вектор ω в точку М и построим векторное произведение , то, как видно из рис.13.7.б, направление вектора совпадает с направлением нормального ускорения точки М. Кроме того, эти два вектора имеют равные модули:

Поэтому векторы и равны между собой:

Нормальное (центростремительное) ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению угловой скорости тела на линейную скорость этой точки.