Вопрос 54. Работа

Кинетической энергией (живой силой) движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная .

Если точка приложения постоянной силы движется по прямой, совпадающей с линией действия силы, то работа этой силы равна произведению ее модуля на длину пути, пройденного точкой приложения силы, взятому с определенным знаком. (плюс или минус).

Т.е. .

Работа считается положительной, если направление силы совпадает с направлением движения точки. Если сила направлена в сторону противоположную движению точки, то работа считается отрицательной и будет равна .

Если точка весом Р движется прямолинейно по негладкой горизонтальной плоскости, то работа сил трения на пути будет равна:

Где - коэффициент трения.

Предположим, что модуль силы есть величина переменная. В этом случае для вычисления работы на пути разобьем этот путь на малых участков . Значения переменного модуля силы в начале каждого участка обозначим соответственно через . Величину модуля силы на каждом участке приблизительно можно считать постоянной. Поэтому элементарная работа на пути будет равна:

Взяв сумму элементарных работ и переходя к пределу сумм, получим работу переменной силы на конечном пути. В пределе сумма этих элементарных работ выразится определенным интегралом:

Для того, чтобы вычислить этот интеграл, модуль силы нужно выразить как функцию переменного .

Рассмотрим работу движущейся точки в случае криволинейного движения. Пусть точка приложения М силы , переменной по величине и направлению, описывает криволинейную траекторию. Требуется определить работу этой силы на пути . Разобьем весь путь на большое число малых участков. Пусть один из таких элементарных участков есть . Разложим силу на две составляющие и (рис.20.3), направленные соответственно по касательной и нормали к траектории в точке М.

Рис.20.3.

Тогда элементарная работа силы на пути выражается произведением , взятым, как и в случае прямолинейного движения, со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление силы направление силы с направлением скорости точки приложения силы или эта сила направлена в сторону, противоположную направлению скорости точки.

Обозначим проекцию силы на направление скорости точки через , а угол между векторами и через φ, будем иметь:

Следовательно, элементарная работа равна:

Если угол φ острый , то элементарная работа положительна. Если этот угол тупой, то работа отрицательна, так как касательная силы направлено противоположно направлению скорости точки.

Взяв сумму элементарных работ и переходя к пределу, получим работу силы на конечном пути от М₀ до М₁:

Или

Работа силы на конечном пути выражается криволинейным интегралом, взятым вдоль соответствующей дуги траектории, которую описывает точка приложения силы.

Если сила во все время движения перпендикулярна к направлению скорости ее точки приложения, то работа этой силы равна нулю.

Выражение работы можно представить в виде:

Следовательно,

Выражение представляет собой элементарную работу силы за время .

Произведение есть скалярное произведение силы и скорости , а потому:

Если обозначим радиус-вектор точки М через , то ;

Следовательно:

Элементарная работа равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения этой силы.

Если разложим векторы и по координатным осям, то получим: ;

Где проекции силы на эти оси, а - координаты точки М. Дифференциал радиуса-вектора будет равен:

Подставляя полученные значения и в формулу элементарной работы, и принимая во внимание, что и , получим аналитическое выражение элементарной работы:

Где представляют собой дифференциалы координат точки приложения силы, т.е.:

Теорема о работе равнодействующей силы:

Работа равнодействующей силы на некотором пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.

Доказательство:

Пусть к материальной точке М приложены две силы и , равнодействующая которых равна . Обозначим работы сил , и на пути соответственно через А₁, А₂ и А.

Проектируя векторное равенство

на направление скорости точки М, получим:

Умножая обе части этого равенства на элемент пути и интегрируя в пределах от 0 до (вдоль траектории точки М), получим: