- •Вопрос 1. Абсолютно твердое тело. Материальная точка. Система отсчета.
- •Вопрос 2. Понятие силы
- •Вопрос 3. Аксиомы статики
- •Вопрос 4. Связи и реакции связей
- •Вопрос 5.Сложение сил, приложенных в одной точке
- •Вопрос 6.Разложение силы
- •Вопрос 7.Проекция вектора на ось
- •Вопрос 8.Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор
- •Вопрос 9. Разложение вектора по координатным осям
- •Вопрос 10.Аналитический способ сложения сил
- •11.Равновесие системы сходящихся сил
- •Вопрос 12.Момент силы относительно точки. Условие равновесия рычага
- •Вопрос 14. Момент пары
- •Вопрос 15. Эквивалентные пары. Момент пары как вектор
- •Вопрос 16.Момент силы относительно точки
- •Вопрос 17.Приведение плоской системы сил к данному центру
- •18.Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 19. Приведения плоской системы сил к одной паре
- •Вопрос 20. . Условия равновесия плоской системы сил
- •Вопрос 21. . Равновесие системы, состоящей из нескольких твердых тел
- •Вопрос 22. Трение скольжения
- •Вопрос 23. Трение качения
- •Вопрос 24. Момент силы относительно оси
- •Вопрос 25. Формулы для моментов силы относительно координатных осей
- •26.Момент силы относительно точки как вектор
- •Вопрос 29. Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 30. Условия равновесия системы сил в общем случае
- •Вопрос 31. Равновесие несвободного тела
- •Вопрос 32. Общие формулы для координат центра тяжести
- •Вопрос 33. Положение центра тяжести симметричного тела
- •Вопрос 34. Уравнение движения точки и график движения
- •Вопрос 35. Определение пути, пройденного точкой, по заданному закону изменения ее скорости
- •Вопрос 36. Скорость точки в криволинейном движении
- •Вопрос 37. Ускорение точки в криволинейном движении
- •Вопрос 38. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах
- •Вопрос 39. Проекция ускорения на естественные оси. Касательное и нормальное ускорения
- •Вопрос 40. Поступательное движение твердого тела
- •Вопрос 41. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Вопрос 42. Угловая скорость как вектор. Выражение линейной скорости и касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений
- •Вопрос 43.Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютные движения
- •Вопрос 44. Относительные, переносные и абсолютные скорость и ускорение точки
- •Вопрос 45. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
- •Вопрос 46.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное
- •Вопрос 47. Уравнения движения свободного тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение и движение вокруг некоторой точки.
- •Вопрос 48. Основные законы динамики.
- •Вопрос 49 . Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •18.3. Две основные задачи динамики точки
- •Вопрос 50. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
- •Вопрос 51. Прямолинейное Движение точки под действием силы.
- •Вопрос 52.Теорема о количестве движения
- •Вопрос 53. Теорема о моменте количества движения
- •Вопрос 54. Работа
- •Вопрос 55. Теорема о кинетической энергии материальной точки
- •Вопрос 57. Понятие о потенциальной энергии
- •Вопрос 58. Закон сохранения механической энергии
- •Вопрос 59. Принцип Даламбера для материальной точки.
- •Вопрос 60. Цели и задачи сопротивления материалов
- •Вопрос 61. Внешние и внутренние силы
- •Вопрос 62. Нормальные и касательные напряжения
- •Вопрос 63. Линейное (одноосное) напряженное состояние
- •Вопрос 64. Плоское (двухосное) напряженное состояние
- •Вопрос 65. Главные напряжения
- •Вопрос 68 Круги Мора для трехосного напряженного состояния
- •Вопрос 70. Относительное удлинение и угол сдвига
- •Вопрос 71. Компоненты тензора деформации
- •Вопрос72. Относительное объемное расширение
- •Вопрос 73. Условия совместности деформаций
- •Вопрос 78. Поперечное сжатие. Коэффициент Пуассона.
- •Вопрос 79 и 80. Предел текучести, течение материала, упрочнение, разрыв.
- •Вопрос 81. Предел упругости
- •Вопрос 82. Сжатие стального образца
- •Вопрос 83. Растяжение сжатие других технически важных материалов
- •Вопрос 84. Твердость
- •Вопрос 85. Переменная нагрузка
- •Вопрос 88. Закон Гука в общей форме
- •Вопрос 89. Теории прочности
- •Вопрос 90. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига
26.Момент силы относительно точки как вектор
Из теоремы Вариньона известно, что моменты сил, лежащих в одной плоскости, складываются алгебраически. Также алгебраически складываются моменты пар, расположенных в одной плоскости. Говоря о приведении плоской системы сил к данному центру, при переносе точки приложения силы F в какую-нибудь точку О, не лежащую на линии действия силы (рис.7.5), получается присоединенная пара (F, F''), причем
Рис.7.5.
В этом равенстве под моментом пары и моментом силы относительно точки О, мы понимали алгебраические значения момента присоединенной пары и момента силы F относительно точки О. Но в случае, когда пары лежат в пересекающихся плоскостях, их моменты складываются по правилу векторного, или геометрического сложения, и в этом случае приходится рассматривать момент пары как векторную величину. Поэтому, при изучении произвольной системы сил, момент силы относительно данной точки следует рассматривать как вектор.
Поэтому при изучении произвольной системы сил мы будем рассматривать момент силы относительно какой-нибудь точки как вектор, равный вектору моменту той присоединенной пары, которую получим, перенося данную силу в эту точку.
Зная, как определяются модуль и направление вектора-момента пары, можно дать определение момента силы относительно точки:
Модуль момента силы F относительно точки О равен произведению модуля этой силы на длину перпендикуляра h, опущенного из точки О на линию действия силы и численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ, который получится при соединении начало и конца силы F с точкой О (рис.7.5)
Момент силы F относительно точки О направлен по перпендикуляру к плоскости, в которой лежит вектор F и точка О, притом в ту сторону, чтобы смотря с конца вектора-момента на силу F, мы видели эту силу, направленной против движения часовой стрелки относительно точки О (рис.7.6)
Вектор mО есть вектор момент силы F относительно точки О, равный моменту пары (F, F'') Начало вектора-момента силы F относительно точки О совпадает с этой точкой.
Рис.7.6.
Когда сила F и точка О даны, вектор mО вполне определен, поэтому при построении этого вектора не надо переносить силу F в точку О и рассматривать присоединенную пару. Понятно, что с изменением положения точки О вектор mО изменяется по модулю и направлению, за исключением случая, когда точка О перемещается по прямой параллельной линии действия силы F. Т.е. модуль и направление момента силы относительно точки зависят не только от этой силы, но и от положения этой точки.
При переносе точки приложения силы F в любую точку тела по линии действия этой силы вектор момента силы mО не изменяется.
27 и 28.
Рис.8.3.
Выведем аналитические формулы, определяющие модули и направления главного вектора R' и главного момента МО. Возьмем прямоугольную систему координат Охуz, начало которой выберем в центре приведения О рис.8.3.
Главный вектор R' равен векторной сумме сил Fi:
Тогда для проекций вектора R' на координатные оси будем иметь:
, ,
Зная все три проекции вектора R', его модуль можно найти по формуле:
Для определения направления этого вектора найдем его направляющие косинусы:
Из равенства , следует, что проекция главного момента МО на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов mi: , ,
Проекция момента силы Fi относительно точки О на ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы Fi относительно этой оси:
Следовательно:
Проекция главного момента относительно данного центра на какую-нибудь ось, проходящую через этот центр, равна алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно этой оси.
Сумма моментов сил данной системы относительно какой-нибудь оси называется главным моментом этой системы сил относительно этой оси.
Проекция главного момента системы сил относительно данного центра на какую-нибудь ось, проходящую через этот центр, равна главному моменту этой системы сил относительно той же оси.
Подставив в полученную систему формулы разложения моментов силы по координатным осям, получим:
Зная проекции вектора МО на координатные оси, можно найти модуль этого вектора:
Направляющие косинусы главного момента МО можно найти по формулам:
или
Так же как в случае плоской системы из равенства следует, что ни модуль, ни направление главного вектора не зависят от выбранного центра приведения. Т.о. главный вектор данной системы сил инвариантен по отношению к центру приведения.
Из равенства следует, что главный момент свойством инваринатности не обладает, так как при изменении положения центра приведения О моменты данных сил Fi относительно этого центра, а следовательно, и сумма моментов вообще будут изменяться.
Пусть в результате приведения данной системы сил Fi (i=1, 2, …, n) к какому-нибудь центру О мы получим силу, равную главному вектору R', приложенную в центре О, и пару, момент которой равен главному моменту МО относительно этого центра (рис.8.4). Причем и .
Рис.8.4.
Примем за центр приведения новую точку О'. Пусть сила Fi данной системы приложена в точке Аi. Радиусы векторы этой точки, проведенные из центров О и О', обозначим соответственно через ri и r'i. Вектор обозначим через r'. Тогда, из треугольника АiОО', получим:
Составляя моменты сил Fi относительно центров приведения О и О', получим: ,
Складывая моменты всех сил Fi (i=1, 2, …, n) относительно нового центра приведения О', получим главный момент МО' данной системы сил относительно нового центра:
В первом члене правой части равенства можно вынести общий множитель r' за знак суммы: - векторное произведение есть момент главного вектора R', приложенного в точке О относительно центра О'.
Следовательно: или
Изменение главного момента системы сил при перемене центра приведения равно моменту главного вектора этой системы, приложенного в прежнем центре приведения, относительно нового центра.
Так как момент силы R' относительно любой точки, лежащей на линии действия этой силы, равен нулю, то из полученного равенства следует, что
При перемещении центра приведения по прямой, имеющей направления главного вектора, главный момент системы сил остается постоянным.
Отсюда следует, что проекция главного момента данной системы сил относительно любого центра на направление главного вектора есть величина постоянная, не зависящая от выбора этого центра.
Скалярное произведение главного вектора и главного момента данной системы сил инвариантно по отношению к центру приведения.
Таким образом, для любой системы сил существуют два инварианта (величины не зависящие от выбора центра приведения):
Векторный инвариант системы сил – главный вектор этой системы
Скалярный инвариант системы сил – скалярное произведение главного вектора и главного момента этой системы.