Вопрос 19. Приведения плоской системы сил к одной паре

Если геометрическая сумма сил данной плоской системы равна нулю, т.е. если силовой многоугольник оказывается замкнутым, то главный вектор R' этой системы будет равен нулю. Следовательно приводя данную систему к какому-нибудь центру О, получим только одну пару с моментом

Равнодействующей в этом случае не существует. Главный момент остается в этом случае неизменным, к какому бы центру мы ни приводили данную систему сил: , так как R'=0 и, следовательно, .

Это значит приводя данную систему сил к двум различным центрам О и О₁, получим две пары с равными моментами М_О и М_О1. Следовательно, эти пары будут эквивалентны, так как каждая из этих пар эквивалентна данной системе сил.

Если главный вектор данной системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно какого-нибудь центра не равен нулю, то эта система эквивалентна паре сил, причем главный момент системы в этом случае не зависит от выбора центра приведения.

Вопрос 20. . Условия равновесия плоской системы сил

Если главный вектор R' данной плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к одной равнодействующей силе. Если R'=0, а главный момент системы М_О не равен нулю, то система приводится к паре сил. В обоих случаях твердое тело данной системы сил не будет находиться в равновесии. Поэтому для равновесия плоской системы сил необходимо выполнение условий:

R'=0 и М_О=0. Эти условия являются необходимыми и достаточными для равновесия твердого тела под действием плоской системы сил.

Из равенства R'=0 следует, что все силы F'₁, F'₂, …, F'_n, равные данным силам F₁, F₂, …, F_n и приложенные в центре приведения О, уравновешиваются.

Из равенства М_О=0 следует, что сумма моментов присоединенных пар (F₁,F₁''), (F₂,F₂''), …, (F_n,F_n'') равна нулю, а это значит, что эти пары уравновешиваются. Таким образом:

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент относительно произвольно выбранного центра равнялись нулю.

Так как модули главного вектора и главного момента равны:

и , то они обращаются в ноль в том и только том случае, если имеют место равенства: , и

Т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил этой системы на каждую из двух произвольно выбранных координатных осей равнялись нулю, и чтобы сумма их моментов относительно произвольно выбранной точки также равнялась нулю.

При этом предполагается, что эти две координатные оси и эта произвольно выбранная точка лежат в той же плоскости, в которой расположены линии действия сил рассматриваемой плоской системы.

Вопрос 21. . Равновесие системы, состоящей из нескольких твердых тел

Если имеем систему, состоящую из нескольких твердых тел, то в этом случае необходимо рассматривать равновесие каждого тела в отдельности, учитывая при этом силы, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в эту систему. Эти силы согласно аксиоме равенства и противодействия всегда равны по модулю между собой и противоположны по направлению. Силы, с которыми, тела входящие в эту систему, действуют друг на друга, называются внутренними силами этой системы. Все остальные силы, действующие на систему (например, сила тяжести, опорные реакции и т.д.), называются внешними силами.

Если система находится в покое, то силы, приложенные к каждому из твердых тел, входящих в систему, уравновешиваются и, следовательно, для каждого из этих тел можно составлять уравнения равновесия. Если составить одно из уравнений равновесия для каждого тела данной системы в отдельности и затем все эти уравнения сложить, то в полученном после уравнении члены, содержащие внутренние силы, сокращаются, так как эти силы равны по модулю и противоположны по направлению и сумма их проекций на любую ось будет равна нулю.

Отсюда следует, что при равновесии данной системы можно составлять для нее уравнения равновесия, так же как для одного твердого тела, причем в эти уравнения войдут только внешние силы, приложенные к системе.

Если система находится в равновесии, то действующие на нее внешние силы удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу.