- •Вопрос 1. Абсолютно твердое тело. Материальная точка. Система отсчета.
- •Вопрос 2. Понятие силы
- •Вопрос 3. Аксиомы статики
- •Вопрос 4. Связи и реакции связей
- •Вопрос 5.Сложение сил, приложенных в одной точке
- •Вопрос 6.Разложение силы
- •Вопрос 7.Проекция вектора на ось
- •Вопрос 8.Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор
- •Вопрос 9. Разложение вектора по координатным осям
- •Вопрос 10.Аналитический способ сложения сил
- •11.Равновесие системы сходящихся сил
- •Вопрос 12.Момент силы относительно точки. Условие равновесия рычага
- •Вопрос 14. Момент пары
- •Вопрос 15. Эквивалентные пары. Момент пары как вектор
- •Вопрос 16.Момент силы относительно точки
- •Вопрос 17.Приведение плоской системы сил к данному центру
- •18.Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 19. Приведения плоской системы сил к одной паре
- •Вопрос 20. . Условия равновесия плоской системы сил
- •Вопрос 21. . Равновесие системы, состоящей из нескольких твердых тел
- •Вопрос 22. Трение скольжения
- •Вопрос 23. Трение качения
- •Вопрос 24. Момент силы относительно оси
- •Вопрос 25. Формулы для моментов силы относительно координатных осей
- •26.Момент силы относительно точки как вектор
- •Вопрос 29. Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 30. Условия равновесия системы сил в общем случае
- •Вопрос 31. Равновесие несвободного тела
- •Вопрос 32. Общие формулы для координат центра тяжести
- •Вопрос 33. Положение центра тяжести симметричного тела
- •Вопрос 34. Уравнение движения точки и график движения
- •Вопрос 35. Определение пути, пройденного точкой, по заданному закону изменения ее скорости
- •Вопрос 36. Скорость точки в криволинейном движении
- •Вопрос 37. Ускорение точки в криволинейном движении
- •Вопрос 38. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах
- •Вопрос 39. Проекция ускорения на естественные оси. Касательное и нормальное ускорения
- •Вопрос 40. Поступательное движение твердого тела
- •Вопрос 41. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Вопрос 42. Угловая скорость как вектор. Выражение линейной скорости и касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений
- •Вопрос 43.Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютные движения
- •Вопрос 44. Относительные, переносные и абсолютные скорость и ускорение точки
- •Вопрос 45. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
- •Вопрос 46.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное
- •Вопрос 47. Уравнения движения свободного тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение и движение вокруг некоторой точки.
- •Вопрос 48. Основные законы динамики.
- •Вопрос 49 . Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •18.3. Две основные задачи динамики точки
- •Вопрос 50. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
- •Вопрос 51. Прямолинейное Движение точки под действием силы.
- •Вопрос 52.Теорема о количестве движения
- •Вопрос 53. Теорема о моменте количества движения
- •Вопрос 54. Работа
- •Вопрос 55. Теорема о кинетической энергии материальной точки
- •Вопрос 57. Понятие о потенциальной энергии
- •Вопрос 58. Закон сохранения механической энергии
- •Вопрос 59. Принцип Даламбера для материальной точки.
- •Вопрос 60. Цели и задачи сопротивления материалов
- •Вопрос 61. Внешние и внутренние силы
- •Вопрос 62. Нормальные и касательные напряжения
- •Вопрос 63. Линейное (одноосное) напряженное состояние
- •Вопрос 64. Плоское (двухосное) напряженное состояние
- •Вопрос 65. Главные напряжения
- •Вопрос 68 Круги Мора для трехосного напряженного состояния
- •Вопрос 70. Относительное удлинение и угол сдвига
- •Вопрос 71. Компоненты тензора деформации
- •Вопрос72. Относительное объемное расширение
- •Вопрос 73. Условия совместности деформаций
- •Вопрос 78. Поперечное сжатие. Коэффициент Пуассона.
- •Вопрос 79 и 80. Предел текучести, течение материала, упрочнение, разрыв.
- •Вопрос 81. Предел упругости
- •Вопрос 82. Сжатие стального образца
- •Вопрос 83. Растяжение сжатие других технически важных материалов
- •Вопрос 84. Твердость
- •Вопрос 85. Переменная нагрузка
- •Вопрос 88. Закон Гука в общей форме
- •Вопрос 89. Теории прочности
- •Вопрос 90. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига
Вопрос 52.Теорема о количестве движения
Эта теорема устанавливает зависимость между количеством движения материальной точки и импульсом действующей на точку силы. Количеством движения материальной точки называется величина, равная произведению скорости этой точки на ее массу . То. Количество движения измеряется в [Нс]
Проекции количества движения на оси координат равны: ; ;
Элементарным импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на бесконечно малый промежуток времени, в течение которого действует эта сила, т.е. вектор , имеющий то же направление, что и сила .
Если обозначим импульс силы за время через , то будем иметь:
Импульс силы за конечный промежуток времени выражается определенным векторным интегралом.
Проекции вектора на координатные оси на основании этого равенства выражаются так:
Здесь обозначают проекции силы на координатные оси. Возьмем основное уравнение динамики: или или
Откуда получим:
Дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу действующей на эту точку силы.
Интегрируя это уравнение в пределах от 0 до и обозначая начальную и конечные скорости точки через и , получим:
Или
Это равенство выражает теорему о количестве движения:
Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на эту точку силы за то же время.
Если известны количества движения материальной точки и , то легко построить вектор (рис.20.1)
Рис.20.1.
Если известен импульс и начальная скорость точки , то по теореме об изменении количества движения находим:
Проектируя левую и правую части этого векторного равенства на оси координат, получим:
Изменение проекции количества движения на какую-нибудь ось равно проекции импульса действующей силы на ту же ось.
Следствия:
Х=0. Тогда или
Если проекция силы действующей на данную ось во время движения равна нулю, то проекция скорости движущейся точки на эту ось остается постоянной.
. Тогда и, следовательно,
. Тогда и, следовательно,:
Вопрос 53. Теорема о моменте количества движения
Пусть точка М массы движется по некоторой кривой под действием силы (рис.20.2).
Рис.20.2.
Построим вектор , изображающий момент силы относительно начала координат О. Этот вектор направлен перпендикулярно плоскости треугольника, который получим, соединив начало и конец вектора, с точкой О. По модулю он равен удвоенной площади этого треугольника. Проекции этого вектора на координатные оси равны моментам силы относительно этих осей.
Момент силы относительно точки О можно представить в виде векторного произведения радиуса вектора точки М на эту силу:
Построим вектор , изображающий момент количества движения относительно данной точки О в виде векторного произведения радиуса вектора на вектор :
Между моментом количества движения относительно данной точки и моментом относительно какой-нибудь оси, проходящей через эту точку, существует такая же зависимость, как и между моментами силы . Поэтому проекции вектора на координатные оси равны моментам количества движения относительно этих осей: ; ;
Известны следующие формулы для моментов силы относительно координатных осей: ; ;
Где - проекции силы на оси, а х, у, z – координаты точи приложения этой силы.
Моменты количества движения относительно координатных осей мы можем вычислить по этим формулам, заменив проекции вектора проекциями вектора на те же оси:
Найдем зависимость между векторами и .
Дифференцируя по времени момент движения относительно точки О, получим:
Но ;
Следовательно:
Но так как векторы и направлены по одной прямой, то
Т.е.
Или
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-нибудь неподвижного центра О равна моменту действующей на эту точку силы относительно того же центра.
Представим полученное равенство в виде:
И спроектируем это равенство на координатные оси. Так как проекция производной от данного вектора на какую-нибудь ось равна производной от проекции этого вектора на ту же ось: ;
Или
Эти уравнения выражают теорему о моменте количества движения в координатной форме:
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-нибудь неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Следствия:
Пусть момент, действующий на материальную точку силы относительно оси z, во все время движения остается равным нулю, т.е. . Тогда будем иметь:
Следовательно, , т.е. если момент действующей силы относительно какой-либо неподвижной оси вес время равен нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси остается постоянным.
Пусть линия действия силы во все время движения проходит через одну неподвижную точку О. В этом случае сила называется центральной, а точка О называется центром этой силы. Тогда и, следовательно: и
В случае центральной силы момент количества движения материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным. Под действием центральной силы точка всегда описывает плоскую траекторию, плоскость которой проходит через центр этой силы.