Вопрос 31. Равновесие несвободного тела

1. Тело с одной неподвижной точкой. Пусть дано твердое тело, одна точка которого закреплена неподвижно (закрепление при помощи сферического шарнира). Примем за начало координат эту неподвижную точку (рис.8.4)

Рис.8.4.

Пусть на тело действуют заданные силы F₁, F₂, …, F_n. Реакцию неподвижной точки (шарового шарнира) обозначим через R_О. Проекции этой силы на оси координат обозначим через Х_О, Y_О и Z_О. Если данное тело находится в равновесии, то будем иметь шесть уравнений равновесия:

Так как моменты силы R_О относительно всех трех координатных осей равны нулю, то в последние три уравнения входят только заданные силы F_i. Эти три уравнения представляют собой условия, которым должны удовлетворять заданные силы F_i, действующие на тело, чтобы оно могло оставаться в равновесии. Т.е. главный момент системы заданных сил F_i относительно точки О должен равняться нулю, система сил должна приводиться к равнодействующей силе, линия действия которой проходит через точку О.

При равновесии тела с одной неподвижной точкой сумма моментов всех действующих сил относительно каждой из трех координатных осей, начало которых находится в неподвижной точке, равна нулю.

Если эти условия не выполнены, то тело не может оставаться в равновесии. Что касается первых трех уравнений, то они позволяют определить проекции неизвестной силы R_О, найти ее модуль и направление.

2. Тело с двумя неподвижными точками. Рассмотрим твердое тело, уу которого две точки О и О' закреплены неподвижно. Прямая, проходящая через эти две точки, неподвижна. Примем эту прямую за ось z (рис.8.5). Начало координат возьмем в точке О, расстояние ОО' обозначим через а. единственное движение возможное для этого тела – вращение вокруг оси z, и положение тела определяется углом поворота тела вокруг неподвижной оси. Пусть на это тело действует система сил F₁, F₂, …, F_n. Требуется определить какому условию должны удовлетворять эти силы, чтобы тело оставалось в равновесии и найти реакции в закрепленных точках.

Рис.8.5.

Обозначим реакции в точках О и О' через R_О и R'_О. Проекции этих сил на координатные оси обозначим соответственно через Х_О, Y_О и Z_О и Х_О', Y_О' и Z_О'.

Моменты силы R_О относительно координатных осей равны нулю, так как эта сила пересекает все три оси в точке О. Момент силы R'_О относительно трех осей будет равен:

Где х_О', у_О' и z_О' координаты точки приложения силы R'_О, которые равны 0,0,а, поэтому: ; ;

Тогда уравнения равновесия примут вид:

Так как в последнее уравнение реакции не входят, то это уравнение представляет собой условие, которому должны удовлетворять заданные силы F_i., действующие на тело, при равновесии. Если это условие не выполнено, то тело не может оставаться в равновесии.

При равновесии твердого тела с двумя неподвижными точками (с неподвижной осью) сумма моментов всех действующих на него заданных сил относительно неподвижной оси равна нулю.

Определим неизвестные реакции. Из пятого и четвертого уравнения получаем: и . Подставляя эти значения в первое и второе уравнения, находим: и .

Из третьего уравнения имеем:

Очевидно, что в данном случае мы имеем статически неопределенную задачу. Мы можем найти только составляющие реакций, перпендикулярные к оси вращения тела. Продольные составляющие реакций остаются неизвестными, мы можем найти только их равнодействующую, но не каждую из сил в отдельности.