11.Равновесие системы сходящихся сил

Пусть данное твердое тело находится под действием n сходящихся сил. Сложив по правилу силового многоугольника n-1 из этих сил, мы приведем систему сил к двум силам. Из аксиомы 1 известно, что две силы, приложенные к твердому телу, находятся в равновесии в том и только том случае, если эти силы имеют равные модули и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е. если их равнодействующая равна нулю. Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил равнялась нулю.

Но эта равнодействующая R изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник, следовательно, для того чтобы равнодействующая равнялась нулю силовой многоугольник должен быть замкнутым, т.е. его конечная точка (конец вектора изображающего последнюю силу) должна совпадать с начальной точкой (началом вектора изображающего первую силу). Таким образом: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы, был замкнутым.

Таково условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме. Выразим теперь это условие аналитически.

Из предыдущей лекции известно, что модуль равнодействующей определяется по формуле:

Отсюда следует, что

Это равенство возможно только в том и только том случае, если удовлетворяются уравнения: , и (3.1)

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех этих сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.

Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можем принять в качестве координатной плоскости плоскость Оху, и тогда для равновесия такой системы сил должны быть выполнены только первые два из условий (3.1)

При решении задач статики для системы сходящихся сил можно использовать два способа. Первый метод графический и заключается в построении замкнутого силового многоугольника. Второй метод аналитический и заключается нахождении неизвестных сил из системы уравнений проекций (3.1). Задача называется статически определимой, если число неизвестных равно числу независимых уравнений равновесия.

Вопрос 12.Момент силы относительно точки. Условие равновесия рычага

Пусть на тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и пересекающей эту плоскость в точке О (рис.2.12), действует система сил F₁ и F₂, лежащих в одной плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Такое тело называется рычагом.

Моментом силы F относительно данной точки О называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы F на длину перпендикуляра h, опущенного из этой точки на линию действия силы.

Плечом силы относительно данной точки называется расстояние от этой точки до линии действия силы.

Следовательно, абсолютная величина момента силы относительно данной точки равна произведению модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на линию действия силы.

Рис.2.12.

Будем считать момент силы положительным, если эта сила вращает рычаг вокруг точки О в направлении обратном движению часовой стрелки; в противном случае момент силы считается отрицательным.

Если линия действия силы проходит через точку О, то плечо, а следовательно, и момент этой силы равны нулю.

Момент силы F относительно точки О будем обозначать m_О(F). Тогда из рис.2.12 видно, что m_О(F₁)=F₁h₁, m_О(F₂)=-F₂h₂

Если численное значение силы выражено в Ньютонах, а длина ее плеча в метрах, то момент силы выражается в Нм.

Пользуясь понятием момента силы, можно найти условие равновесия рычага, которому должны удовлетворять приложенные к рычагу силы F₁ и F₂, чтобы он остался в равновесии.

Пусть рычаг (рис.2.12) закреплен в точке О при помощи цилиндрического шарнира; продолжим линии действия сил F₁ и F₂ до их пересечения в точке С. перенося точки приложения сил F₁ и F₂ в точку С и складывая эти силы, приведем их к одной равнодействующей R. Теперь рычаг находится под действием равнодействующей R и реакции R₀шарнира О. При равновесии эти силы должны быть равны по модулю, и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Отсюда следует, что при равновесии рычага линия действия равнодействующей сил F₁ и F₂ проходит через неподвижную точку О.

Опустим из конца D вектора R перпендикуляры Dа₁ и Db₁ на линии действия сил F₁ и F₂. Так как площадь параллелограмма, построенного на силах F₁ и F₂, выражается произведением одной из его сторон на высоту, то: или

Из подобия треугольников следует, что

При равновесии рычага численные значения сил F₁ и F₂ обратно пропорциональны плечам сил относительно неподвижной точки рычага. В этой форме условие рычага впервые было выведено Архимедом.

Это равенство можно переписать в виде: F₁h₁ - F₂h₂=0 или m_О(F₁)+ m_О(F₂)=0 (3.2)

При равновесии рычага алгебраическая сумма моментов приложенных к нему сил относительно неподвижной точки рычага равна нулю.

Это равенство (3.2) выражает необходимое и достаточное условие равновесия рычага.

Так как при равновесии рычага силы R₀ и R равны по модулю, то в том случае когда в задаче требуется найти реакцию шарнира, достаточно определить модуль равнодействующей R.

??Вопрос 13.Сложение параллельных сил. Центр системы параллельных сил??