- •Вопрос 1. Абсолютно твердое тело. Материальная точка. Система отсчета.
- •Вопрос 2. Понятие силы
- •Вопрос 3. Аксиомы статики
- •Вопрос 4. Связи и реакции связей
- •Вопрос 5.Сложение сил, приложенных в одной точке
- •Вопрос 6.Разложение силы
- •Вопрос 7.Проекция вектора на ось
- •Вопрос 8.Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор
- •Вопрос 9. Разложение вектора по координатным осям
- •Вопрос 10.Аналитический способ сложения сил
- •11.Равновесие системы сходящихся сил
- •Вопрос 12.Момент силы относительно точки. Условие равновесия рычага
- •Вопрос 14. Момент пары
- •Вопрос 15. Эквивалентные пары. Момент пары как вектор
- •Вопрос 16.Момент силы относительно точки
- •Вопрос 17.Приведение плоской системы сил к данному центру
- •18.Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 19. Приведения плоской системы сил к одной паре
- •Вопрос 20. . Условия равновесия плоской системы сил
- •Вопрос 21. . Равновесие системы, состоящей из нескольких твердых тел
- •Вопрос 22. Трение скольжения
- •Вопрос 23. Трение качения
- •Вопрос 24. Момент силы относительно оси
- •Вопрос 25. Формулы для моментов силы относительно координатных осей
- •26.Момент силы относительно точки как вектор
- •Вопрос 29. Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 30. Условия равновесия системы сил в общем случае
- •Вопрос 31. Равновесие несвободного тела
- •Вопрос 32. Общие формулы для координат центра тяжести
- •Вопрос 33. Положение центра тяжести симметричного тела
- •Вопрос 34. Уравнение движения точки и график движения
- •Вопрос 35. Определение пути, пройденного точкой, по заданному закону изменения ее скорости
- •Вопрос 36. Скорость точки в криволинейном движении
- •Вопрос 37. Ускорение точки в криволинейном движении
- •Вопрос 38. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах
- •Вопрос 39. Проекция ускорения на естественные оси. Касательное и нормальное ускорения
- •Вопрос 40. Поступательное движение твердого тела
- •Вопрос 41. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Вопрос 42. Угловая скорость как вектор. Выражение линейной скорости и касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений
- •Вопрос 43.Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютные движения
- •Вопрос 44. Относительные, переносные и абсолютные скорость и ускорение точки
- •Вопрос 45. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
- •Вопрос 46.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное
- •Вопрос 47. Уравнения движения свободного тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение и движение вокруг некоторой точки.
- •Вопрос 48. Основные законы динамики.
- •Вопрос 49 . Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •18.3. Две основные задачи динамики точки
- •Вопрос 50. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
- •Вопрос 51. Прямолинейное Движение точки под действием силы.
- •Вопрос 52.Теорема о количестве движения
- •Вопрос 53. Теорема о моменте количества движения
- •Вопрос 54. Работа
- •Вопрос 55. Теорема о кинетической энергии материальной точки
- •Вопрос 57. Понятие о потенциальной энергии
- •Вопрос 58. Закон сохранения механической энергии
- •Вопрос 59. Принцип Даламбера для материальной точки.
- •Вопрос 60. Цели и задачи сопротивления материалов
- •Вопрос 61. Внешние и внутренние силы
- •Вопрос 62. Нормальные и касательные напряжения
- •Вопрос 63. Линейное (одноосное) напряженное состояние
- •Вопрос 64. Плоское (двухосное) напряженное состояние
- •Вопрос 65. Главные напряжения
- •Вопрос 68 Круги Мора для трехосного напряженного состояния
- •Вопрос 70. Относительное удлинение и угол сдвига
- •Вопрос 71. Компоненты тензора деформации
- •Вопрос72. Относительное объемное расширение
- •Вопрос 73. Условия совместности деформаций
- •Вопрос 78. Поперечное сжатие. Коэффициент Пуассона.
- •Вопрос 79 и 80. Предел текучести, течение материала, упрочнение, разрыв.
- •Вопрос 81. Предел упругости
- •Вопрос 82. Сжатие стального образца
- •Вопрос 83. Растяжение сжатие других технически важных материалов
- •Вопрос 84. Твердость
- •Вопрос 85. Переменная нагрузка
- •Вопрос 88. Закон Гука в общей форме
- •Вопрос 89. Теории прочности
- •Вопрос 90. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига
Вопрос 32. Общие формулы для координат центра тяжести
Рассмотрим тело, находящееся возле поверхности Земли. На каждую частицу этого тела действует сила притяжения, направленная по вертикали вниз и равная весу этой частицы (рис.9.1). Обозначим эту систему сил через р1, р2, …, рn. Строго говоря, данная система сил представляет собой систему сходящихся сил, так как они пересекаются в одной точке – центре земли.
Рис.9.1
Но так как расстояние до центра земли очень велико по сравнению с размерами тела, то с большой степенью точности можно считать, что все эти силы параллельны. Центр С этой системы параллельных сил называется центром тяжести данного тела, а равнодействующая этих сил , проходящая через точку С, представляет собой вес этого тела.
Найдем положение центра тяжести данного тела. Отнесем это тело к прямоугольной системе координат Охуz. Чтобы определить положение центра тяжести С, нужно найти его координаты, которые обозначим через хС, уС и zС. Так как центр тяжести есть центр параллельных сил, представляющих веса элементарных частиц этого тела, то координаты центра тяжести системы параллельных сил будут равны:
, , , где х, у и z обозначают координаты точек приложения рi.
Обозначим вес единицы объема данного тела через γ, а объемы элементарных частиц через . Если данное тело однородно, то величина γ будет для всех частиц одинакова, т.е. . Подставляя эти значения в предыдущие формулы, получим:
, где – объем тела.
Аналогично получим и для двух других координат: ,
Чтобы получить точные формулы для координат центра тяжести однородного тела, нужно перейти к пределу предполагая, что число составляющих тело частиц бесконечно, а объем каждой частицы стермится к нулю. Поэтому окончательно будем иметь:
, ,
Вычисление пределов сумм, входящих в полученные формулы производится методами интегрального исчисления.
Случай однородного твердого тела
Однородная плоская фигура (рис.19.2)
Рис.9.2
Однородная линия (рис.9.3)
Рис.9.3
Тройной интеграл вычисляется следующим образом:
Устанавливаем пределы интегрирования по оси z в виде уравнений поверхности и и интегрируем по направлению оси z:
, при интегрировании х и у рассматриваются как постоянные. Далее тройной интеграл может быть представлен в виде двойного, который приводится к повторному. Интегрируя сначала по у, а затем по х получим
Вопрос 33. Положение центра тяжести симметричного тела
Лемма. Если точки приложения всех данных параллельных сил лежат в одной и той же плоскости или на одной и той же прямой, то центр этой системы параллельных сил лежит соответственно в той же плоскости или на той же прямой.
Доказательство: примем плоскость, в которой лежат точки приложения всех данных параллельных сил, за координатную плоскость Оху. Тогда , но по заданным условиям , следовательно, , т.е. центр системы параллельных сил лежит в плоскости Оху.
Аналогично, примем прямую, на которой лежат точки приложения всех данных параллельных сил, за координатную ось z. Тогда для всех этих точек будем иметь: , следовательно, и
Т.е. центр данной системы параллельных сил лежит на оси z.
Теорема. Если однородное тело имеет плоскость, или ось, или центр симметрии, то центр тяжести такого тела лежит соответственно в этой плоскости, на этой оси или в этом центре симметрии.
Доказательство. Пусть данное тело имеет плоскость симметрии. Тогда мы можем разбить тело на пары одинаковых элементарных частиц равного веса, симметрично расположенных относительно этой плоскости: А1 и А'1, А2 и А'2 и т.д. (рис.9.4)
Рис.9.4.
Отрезки А1 А'1, А2 А'2 и т.д. перпендикулярны к плоскости симметрии и в точках пересечения с ней делятся пополам, так что А1М1= А'1М1, А2М2= А'2М2, и т.д. Обозначим веса частиц через р1, р'1, и т.д. Так как веса симметричных частиц равны, то р1=р'1 и т.д. Сложив две равные параллельные силы р1 и р'1, приложенные в точках А1 и А'1, получим равнодействующую 2р1, приложенную в точке М1. Поступив так с весами каждой пары симметричных частиц, получим систему параллельных сил 2р1, и т.д., точки приложения которых лежат в плоскости симметрии, а следовательно, на основании предыдущей леммы в этой же плоскости лежит и центр тяжести данного тела.
Аналогично доказывается эта теорема и для случаев, когда тело имеет ось или центр симметрии. Эта теорема имеет частые применения. Например, из нее непосредственно следует, что центр тяжести однородной пластинки, имеющей форму параллелограмма, лежит в точке пресечения его диагоналей, центр тяжести однородной эллиптической пластинки лежит в ее геометрическом центре, центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения, так как эта ось является для такого тела осью симметрии.