Вопрос 65. Главные напряжения

Найдем, при каких углах φ получаются экстремальные значения σ. Для этого найдем производную σ по φ и приравняем ее к нулю:

Обозначим значение угла φ, удовлетворяющее этому уравнению через φ₀. Тогда:

На круге напряжений Мора угол получается при центре М построением прямоугольного треугольника по заданным катетам и .

Подставляя в полученную формулу угол , получим, что . Следовательно, существуют две взаимно перпендикулярные плоскости, для которых нормальное напряжение принимает экстремальные значения. Эти плоскости называются главными плоскостями напряжений, а действующие в них нормальные напряжения – главными напряжениями. Из второго уравнения системы σ, τ,: следует, что в главных плоскостях касательные напряжения равны нулю.

Величину главных напряжений и можно определить из круга Мора (рис.7) или из уравнения:

Если положить в нем , получим:

Аналогичным способом определяются углы , которым соответствуют экстремальные значения касательного напряжения:

Откуда получаем:

Очевидно, что , следовательно:

Или

Таким образом, существуют два направления, для которых касательные напряжения получают свои экстремальные значения ( . Эти направления делят пополам углы между главными напряжениями.

Из уравнения и , получим, что

И Откуда

Т.е. Экстремальные касательные напряжения равны друг другу по абсолютному значению, но противоположны по знаку. Очевидно, что численно равны радиусу круга напряжений Мора.

Если площадки ВС и СА являются плоскостями главных напряжений и (рис.8), тогда будем иметь: , ,

И выражения напряжений σ и τ в произвольном сечении примут более простой вид:

Уравнением окружности, ограничивающей круг напряжений Мора, будет:

Абсолютная величина экстремальных касательных напряжений равна:

Для построения круга Мора по заданным напряжениям и , следует отложить на оси σ от точки О отрезки и (рис.8) и на отрезке , как на диаметре построить окружность. Для определения напряжений σ и τ в сечении, образующем угол φ с плоскостью главного напряжения , следует построить в центре круга угол . Тогда координаты σ и τ точки S и будут искомыми напряжениями.

Вопрос 66 и 67- убрали… =)

Вопрос 68 Круги Мора для трехосного напряженного состояния

Трехосное напряженное состояние можно изобразить в плоскости при помощи построения, состоящего из трех кругов, которые называются кругами напряжений Мора (рис.10). Пусть напряженное состояние задано главными напряжениями , , .

Рис.10

Отложим на оси σ отрезки , , и построим на отрезках , , , как на диаметрах, полуокружности. Эти полуокружности ограничивают заштрихованный на рис.10 треугольник, сторонами которого являются дуги окружностей. Все напряжения, возможные при заданном напряженном состоянии, изображаются координатами σ, τ точек, лежащих внутри или на сторонах заштрихованного треугольника.

Для того, чтобы найти напряжения σ и τ, соответствующие площадке, нормаль к которой образует с осями углы α, β, γ, следует отложить при угол , при угол , причем тот и другой углы следует отсчитывать от перпендикуляров к оси в точках и . Пусть наклонные стороны углов и пересекают внешнюю окружность в точках Е и F. Опишем из центра М₁ дугу ЕR радиусом М₁Е, а из центра М₃ – дугу FR радиусом М₃F. Координаты точки R пересечения этих дуг дадут значения нормального напряжения и касательного напряжения на взятой элементарной площадке. Абсолютная величина наибольшего из всех возможных касательных напряжений равна радиусу внешней окружности, т.е. .

Вопрос 69. Убрали =)