Вопрос 41. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Если твердое тело движется так, что две какие-нибудь его точки остаются неподвижными, то такое движение называется вращательным. Неподвижная прямая, проходящая через две неподвижные точки тела, называется осью вращения тела. Каждая точка тела, не лежащая на оси вращения, описывает при таком движении окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения и центр которой лежит на этой оси.

Установим на оси вращения z положительное направление, проведем через эту ось неподвижную плоскость П₁; кроме того, через ту же ось проведем подвижную плоскость П₂, неизменно связанную с телом и вращающуюся вместе с ним. Угол между этими двумя плоскостями, отсчитываемый от неподвижной плоскости П₁ в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z, и измеряемый в радианах, обозначим через φ (рис.13.2).

Рис.13.2.

Положение подвижной плоскости П₂ в пространстве вполне определяется значением этого угла φ, а поскольку плоскость П₂ неизменно связана с вращающимся телом, то значением угла φ будет однозначно определяться и положение этого тела. При вращении тела вокруг оси z этот угол является непрерывной и однозначной функцией времени:

Это уравнение называется уравнением или законом вращательного движения тела. Если функция известна, то вращательное движение тела вполне определено, так как для каждого данного момента времени из уравнения движения тела можно найти соответствующее значение угла φ и, следовательно, можно определить положение тела в этот момент. Так как положение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром (углом φ), то говорят, что такое тело имеет одну степень свободы.

Производная от угла φ по времени называется угловой скоростью тела и обозначается буквой ω:

Так как угол φ измеряется в радианах, то угловая скорость измеряется в радианах в секунду:

Через ось вращения z можно провести множество (пучок) плоскостей, неизменно связанных с вращающимся телом. Выберем в качестве подвижной плоскости вместо плоскости П₂ какую-нибудь другую плоскость П₃, проходящую через ось z и неизменно связанную с вращающимся телом, и обозначим угол между плоскостями П₁ и П₃ через φ₁. Так как угол между плоскостями П₂ и П₃ при вращении тела остается постоянным, то угол φ₁ будет отличаться от угла φ на некоторую постоянную величину, т.е. , следовательно, . Отсюда следует, что угловая скорость тела не зависит от выбора подвижной плоскости.

Производная от угловой скорости по времени называется угловым ускорением тела и обозначается буквой ε:

Размерность углового ускорения выражается так:

Единица углового ускорения обозначается так:

Если тело вращается в направлении возрастания угла φ, т.е. против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси вращения, то угловая скорость положительна, в противном случае угловая скорость отрицательна. Т.о. знак угловой скорости определяет направление вращения тела вокруг данной оси.

Если ω и ε имеют одинаковые знаки, то тело вращается ускоренно. Если ω и ε имеют разные знаки, то вращение тела является замедленным. Если угловая скорость тела постоянна, т.е. ω=const, то такое вращение называется равномерным. Из равенства , следует, что .

Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, при ω=const получим:

Или , где - начальное значение угла φ в момент t=0. Разность представляет собой угол поворота тела за время t. Очевидно, что и

При равномерном вращении угол поворота тела за данное время равен произведению угловой скорости тела на это время, а угловая скорость тела равна отношению угла поворота к соответствующему промежутку времени.

В технической практике встречается измерение угловой скорости как частоты вращения в оборотах в минуту. Найдем взаимосвязь частоты вращения (числа оборотов) с угловой скоростью. При одном полном обороте угол поворота тела в радианах равен , при n оборотах равен радиан. Поэтому, полагая, что и t=60 секунд, получим .

Если угловое ускорение постоянно, то такое вращение тела называется равномерно переменным.

Из равенства следует, что . Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, , получим:

или , где - угловая скорость тела в момент времени t=0.

Заменяя , получим, что

Откуда

Интегрируя это уравнение, получим:

Или

При ,

Пусть , тогда при ε>0 тело будет вращаться равномерно ускоренно, при ε<0, будем иметь равномерно замедленное вращение тела.

Определение скоростей и ускорений точек вращающегося твердого тела.

Определение скорости точки М.

Рассмотрим движение какой-нибудь точки М тела. Радиус окружности, которую описывает точка М, равный расстоянию этой точки тела от оси вращения, обозначим через R (рис.13.2). Точку пересечения этой окружности с неподвижной плоскостью П₁ обозначим через О', а центр этой окружности через О.

Будем определять положение точки М на ее траектории дуговой координатой s, т.е. длиной дуги О'М, отсчитываемой от неподвижной точки О'. Причем за положительное направление отсчета дуг s примем положительное направление отсчета угла φ (рис.13.3). Тогда и . Отсюда

Но , а , где обозначает модуль скорости точки М, которая в отличие от угловой называется линейной скоростью точки М, поэтому предыдущее равенство принимает вид:

Рис.13.3.

Линейная скорость направлена по касательной к окружности, которую описывает точка М, и, следовательно, перпендикулярна к плоскости, проходящей через эту точку и ось вращения тела. Модуль линейной скорости точки вращающегося тела равен произведению абсолютного значения угловой скорости тела на расстояние этой точки от оси вращения.

Определение ускорения точки М. Найдем проекции ускорения на касательную и нормаль к траектории, причем за положительное направление касательной примем направление в сторону возрастания угла φ, а за положительное направление нормали – направление в сторону вогнутости траектории, т.е. к центру окружности, описываемой точкой М.

Для криволинейного движения имеем:

Модуль касательного ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению абсолютного значения углового ускорения тела на расстояние этой точки до оси вращения.

Для проекции ускорения на нормаль имеем:

Модуль нормального ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние этой точки от оси вращения.

Если имеют одинаковые знаки, т.е. тело вращается ускоренно, то абсолютное значение угловой скорости и модуль линейной скорости возрастают. В этом случае касательное ускорение и скорость направлены в одну и ту же сторону. Если имеют разные знаки, т.е. если тело вращается замедленно, то векторы и направлены в противоположные стороны (рис.13.4.)

Что касается нормального ускорения , то оно направлено всегда по радиусу окружности, описываемой точкой М, к центру этой окружности. Поэтому это ускорение называется центростремительным ускорением.

Рис.13.4.

Для модуля ускорения точки М получим:

Чтобы определить направление ускорения точки М, достаточно найти угол α, который вектор образует с радиусом МО (рис.13.4). Из прямоугольного треугольника находим:

В частном случае, когда тело вращается равномерно, угловое ускорение равно нулю. В этом случае и α=0.

При равномерном вращении тела ускорение совпадает с нормальным (центростремительным) ускорением. Так как в данный момент времени для всех точек тела имеют одно и то же значение, то из полученных формул следует:

1. Численные значения скоростей и ускорений точек вращающегося твердого тела в данный момент пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения.

2. Угол α для всех точек вращающегося твердого тела в данный момент времени имеет одно и тоже значение