- •Вопрос 1. Абсолютно твердое тело. Материальная точка. Система отсчета.
- •Вопрос 2. Понятие силы
- •Вопрос 3. Аксиомы статики
- •Вопрос 4. Связи и реакции связей
- •Вопрос 5.Сложение сил, приложенных в одной точке
- •Вопрос 6.Разложение силы
- •Вопрос 7.Проекция вектора на ось
- •Вопрос 8.Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор
- •Вопрос 9. Разложение вектора по координатным осям
- •Вопрос 10.Аналитический способ сложения сил
- •11.Равновесие системы сходящихся сил
- •Вопрос 12.Момент силы относительно точки. Условие равновесия рычага
- •Вопрос 14. Момент пары
- •Вопрос 15. Эквивалентные пары. Момент пары как вектор
- •Вопрос 16.Момент силы относительно точки
- •Вопрос 17.Приведение плоской системы сил к данному центру
- •18.Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 19. Приведения плоской системы сил к одной паре
- •Вопрос 20. . Условия равновесия плоской системы сил
- •Вопрос 21. . Равновесие системы, состоящей из нескольких твердых тел
- •Вопрос 22. Трение скольжения
- •Вопрос 23. Трение качения
- •Вопрос 24. Момент силы относительно оси
- •Вопрос 25. Формулы для моментов силы относительно координатных осей
- •26.Момент силы относительно точки как вектор
- •Вопрос 29. Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 30. Условия равновесия системы сил в общем случае
- •Вопрос 31. Равновесие несвободного тела
- •Вопрос 32. Общие формулы для координат центра тяжести
- •Вопрос 33. Положение центра тяжести симметричного тела
- •Вопрос 34. Уравнение движения точки и график движения
- •Вопрос 35. Определение пути, пройденного точкой, по заданному закону изменения ее скорости
- •Вопрос 36. Скорость точки в криволинейном движении
- •Вопрос 37. Ускорение точки в криволинейном движении
- •Вопрос 38. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах
- •Вопрос 39. Проекция ускорения на естественные оси. Касательное и нормальное ускорения
- •Вопрос 40. Поступательное движение твердого тела
- •Вопрос 41. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Вопрос 42. Угловая скорость как вектор. Выражение линейной скорости и касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений
- •Вопрос 43.Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютные движения
- •Вопрос 44. Относительные, переносные и абсолютные скорость и ускорение точки
- •Вопрос 45. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
- •Вопрос 46.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное
- •Вопрос 47. Уравнения движения свободного тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение и движение вокруг некоторой точки.
- •Вопрос 48. Основные законы динамики.
- •Вопрос 49 . Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •18.3. Две основные задачи динамики точки
- •Вопрос 50. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
- •Вопрос 51. Прямолинейное Движение точки под действием силы.
- •Вопрос 52.Теорема о количестве движения
- •Вопрос 53. Теорема о моменте количества движения
- •Вопрос 54. Работа
- •Вопрос 55. Теорема о кинетической энергии материальной точки
- •Вопрос 57. Понятие о потенциальной энергии
- •Вопрос 58. Закон сохранения механической энергии
- •Вопрос 59. Принцип Даламбера для материальной точки.
- •Вопрос 60. Цели и задачи сопротивления материалов
- •Вопрос 61. Внешние и внутренние силы
- •Вопрос 62. Нормальные и касательные напряжения
- •Вопрос 63. Линейное (одноосное) напряженное состояние
- •Вопрос 64. Плоское (двухосное) напряженное состояние
- •Вопрос 65. Главные напряжения
- •Вопрос 68 Круги Мора для трехосного напряженного состояния
- •Вопрос 70. Относительное удлинение и угол сдвига
- •Вопрос 71. Компоненты тензора деформации
- •Вопрос72. Относительное объемное расширение
- •Вопрос 73. Условия совместности деформаций
- •Вопрос 78. Поперечное сжатие. Коэффициент Пуассона.
- •Вопрос 79 и 80. Предел текучести, течение материала, упрочнение, разрыв.
- •Вопрос 81. Предел упругости
- •Вопрос 82. Сжатие стального образца
- •Вопрос 83. Растяжение сжатие других технически важных материалов
- •Вопрос 84. Твердость
- •Вопрос 85. Переменная нагрузка
- •Вопрос 88. Закон Гука в общей форме
- •Вопрос 89. Теории прочности
- •Вопрос 90. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига
Вопрос 49 . Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Пусть материальная точка М(х,у,z) массы m движется по криволинейной траектории под действием силы рис.18.2. Проекции этой силы на координатные оси инерциальной системы отсчета Охуz обозначим через .
Рис.18.2.
Если обозначим ускорение точки через , то на основании второго закона
Проектируя это векторное равенство на координатные оси, получим:
Как известно из кинематики, проекции ускорения на координатные оси выражаются так:
, ,
Откуда, получим:
, ,
Таким образом, мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка, выражающих в координатной форме второй закон динамики.
Эти уравнения, являющиеся в динамике точки основными, называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Если на точку действуют одновременно несколько сил, то на основании четвертого закона под нужно понимать в этом случае проекции на координатные оси равнодействующей всех этих сил.
18.3. Две основные задачи динамики точки
Первая задача. Зная движение материальной точки данной массы, найти силу, действующую на точку в этом движении в каждый данный момент времени.
Движение точки определяется кинематическими уравнениями , , , выражающими координаты движущейся точки, как известные функции времени. Требуется найти силу , действующую на эту точку. Решение получаем непосредственно из дифференциальных уравнений движения материальной точки, полученных выше:
, , , где m – масса данной точки.
Определив три проекции искомой силы , мы будем знать ее модуль и направление в каждый момент времени.
Пусть, например, точка М массы m движется по эллиптической траектории в плоскости Оху, причем движение ее задано следующими уравнениями:
,
Найти силу , действующую на эту точку (рис.18.3).
Рис.18.3.
Из данных уравнений находим:
Умножая эти уравнения на массу m, получаем проекции искомой силы:
Модуль искомой силы определится по формуле:
, где радиус вектор движущейся точки. Для определения направления вектора находим его направляющие косинусы:
,
С другой стороны, направляющие косинусы радиуса вектора r выражаются так: и . Очевидно, что направляющие косинусы векторов и отличаются только знаками, следовательно, эти векторы направлены по одной прямой в противоположные стороны. Поэтому имеем:
Это векторное равенство показывает, что в данном эллиптическом движении на точку действует притягивающая сила, пропорциональная массе точки и ее расстоянию от центра притяжения, находящегося в начале координат, т.е. в центре эллипса.
Вторая задача (обратная). Известна сила , действующая на материальную точку данной массы. Требуется найти движение этой точки, т.е. выразить ее координаты как функции времени. Решение задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения точки, в которых известны, т.к. известна сила .
Материальная точка брошена с начальной скоростью под углом к горизонту. Найти движение этой точки под действием силы тяжести (рис.18.4)
Рис.18.4.
Пусть начало движения
В начальный момент времени имеем:
Составляя дифференциальные уравнения движения точки, получим:
, , , или, сокращая на :
, ,
Интегрируя первое уравнение, находим:
Т.е. получаем:
Т.е. проекция скорости на ось х имеет постоянное значение, следовательно, во все время движения она имеет тоже значение, какое имела в начальный момент:
Откуда
Т.е.
Но в начальный момент , следовательно,
Откуда:
Т.о. траектория точки лежит в вертикальной плоскости Оуz.
Из второго дифференциального уравнения получаем:
Или
Т.е. проекция скорости на ось х остается постоянной. Так же кА предыдущем случае находим, что
Следовательно
Интегрируя уравнение, получаем
Для определения постоянной , подставляем постоянные значения и :
Получаем решение второго уравнения:
Третье дифференциальное уравнение:
Интегрируя его, находим:
или
Для определения постоянной нужно подставить начальные значения и в полученное решение:
Следовательно:
Откуда, интегрируя еще раз, имеем:
Подставляя в полученное решение начальные значения , , находим:
Получаем уравнение искомого движения точки в плоскости Оzу в конечном виде:
и
Исключив из этих уравнений время , получим уравнение параболической траектории точки:
Т.о. произвольные постоянные, появляющиеся при интегрировании дифференциальных уравнений движения, определяются по начальным условиям, т.е. по начальным координатам движущейся точки и по проекциям ее начальной скорости на координатные оси: , , .
Отсюда следует, что для полного определения движения точки недостаточно знать только силу, действующую на точку. Необходимо еще знать начальные условия движения, т.е. начальное положение точки и ее начальную скорость . В общем случае при интегрировании дифференциальных уравнений движения точки мы получили шесть произвольных постоянных. В случае плоского движения мы имели бы четыре постоянных, которые определяются по четырем начальным значениям координат и проекций скоростей: , и .