Вопрос 55. Теорема о кинетической энергии материальной точки

Кинетической энергией движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы движущейся точки на квадрат ее скорости.

Кинетическая энергия имеет размерность работы и измеряется в системе СИ в Джоулях [Дж].

Теорема: Изменение кинетической энергии движущейся материальной точки равно работе приложенной к ней силы не пройденном этой точкой пути.

Доказательство: Пусть материальная точка М массы движется под действием силы по некоторой криволинейной траектории (рис.20.4).

Рис.20.4.

Напишем основное уравнение динамики, выражающее второй закон Ньютона: . Проектируя это векторное равенство на направление скорости , получим: ; ;

Где φ – угол между векторами и . Умножая обе части этого равенства на получим:

Или

Правая часть этого равенства представляет собой элементарную работу силы . Следовательно, дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.

Этот результат выражает теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме. Интегрируя, полученное уравнение в соответствующих пределах, получим:

??Вопрос 56. Закон о потенциальном силовом поле??

Вопрос 57. Понятие о потенциальной энергии

Пусть материальная точка, движущаяся в потенциальном силовом поле, находится в точке М(х,у,z), в которой силовая функция имеет значение U,и пусть точка М⁽⁰⁾(х⁽⁰⁾,у⁽⁰⁾,z⁽⁰⁾) будет какая-либо произвольно выбранная неподвижная (нулевая) точка, в которой силовая функция имеет значение:

Работа, производимая силой поля при перемещении материальной точки из положения М в «нулевую точку» М⁽⁰⁾, называется потенциальной энергией в точке М.

В нулевой точке М⁽⁰⁾ потенциальная энергия равна нулю. За нулевую точку можно принять любую точку поверхности уровня, на которой силовая функция имеет значение .

Пусть материальная точка находится в поле силы тяжести. Примем произвольно взятую горизонтальную плоскость за нулевую и будем считать потенциальную энергию на этой плоскости равной нулю. Потенциальная энергия в точке М, находящейся на высоте над этой нулевой плоскостью равна , где Р – вес данной материальной точки.

Так как величина постоянная, то: , ,

Отсюда: ; ;

Проекции силы потенциального поля на координатные оси равны взятым с обратным знаком частным производным от потенциальной энергии по соответствующим координатам.

Вопрос 58. Закон сохранения механической энергии

Пусть М1 и М2 – два различных положения материальной точки, движущейся в потенциальном силовом поле, и и - соответствующие значения силовой функции в этих точках. Изменение кинетической энергии точки будет равно работе приложенной к ней силы:

Где и - скорости движущейся точки в положениях М1 и М2. Но так как работа А равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях движущейся точки, то

Потенциальная энергия в точках М1 и М2 будет равна: ;

Откуда: ;

Подставляя эти значения в уравнение кинетической энергии, получим:

Или

Т.е.

При движении материальной точки в потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.

Этот результат, выражающий закон сохранения механической энергии, представляет собой частный случай общего физического закона сохранения энергии.