- •Вопрос 1. Абсолютно твердое тело. Материальная точка. Система отсчета.
- •Вопрос 2. Понятие силы
- •Вопрос 3. Аксиомы статики
- •Вопрос 4. Связи и реакции связей
- •Вопрос 5.Сложение сил, приложенных в одной точке
- •Вопрос 6.Разложение силы
- •Вопрос 7.Проекция вектора на ось
- •Вопрос 8.Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор
- •Вопрос 9. Разложение вектора по координатным осям
- •Вопрос 10.Аналитический способ сложения сил
- •11.Равновесие системы сходящихся сил
- •Вопрос 12.Момент силы относительно точки. Условие равновесия рычага
- •Вопрос 14. Момент пары
- •Вопрос 15. Эквивалентные пары. Момент пары как вектор
- •Вопрос 16.Момент силы относительно точки
- •Вопрос 17.Приведение плоской системы сил к данному центру
- •18.Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 19. Приведения плоской системы сил к одной паре
- •Вопрос 20. . Условия равновесия плоской системы сил
- •Вопрос 21. . Равновесие системы, состоящей из нескольких твердых тел
- •Вопрос 22. Трение скольжения
- •Вопрос 23. Трение качения
- •Вопрос 24. Момент силы относительно оси
- •Вопрос 25. Формулы для моментов силы относительно координатных осей
- •26.Момент силы относительно точки как вектор
- •Вопрос 29. Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 30. Условия равновесия системы сил в общем случае
- •Вопрос 31. Равновесие несвободного тела
- •Вопрос 32. Общие формулы для координат центра тяжести
- •Вопрос 33. Положение центра тяжести симметричного тела
- •Вопрос 34. Уравнение движения точки и график движения
- •Вопрос 35. Определение пути, пройденного точкой, по заданному закону изменения ее скорости
- •Вопрос 36. Скорость точки в криволинейном движении
- •Вопрос 37. Ускорение точки в криволинейном движении
- •Вопрос 38. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах
- •Вопрос 39. Проекция ускорения на естественные оси. Касательное и нормальное ускорения
- •Вопрос 40. Поступательное движение твердого тела
- •Вопрос 41. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Вопрос 42. Угловая скорость как вектор. Выражение линейной скорости и касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений
- •Вопрос 43.Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютные движения
- •Вопрос 44. Относительные, переносные и абсолютные скорость и ускорение точки
- •Вопрос 45. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
- •Вопрос 46.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное
- •Вопрос 47. Уравнения движения свободного тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение и движение вокруг некоторой точки.
- •Вопрос 48. Основные законы динамики.
- •Вопрос 49 . Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •18.3. Две основные задачи динамики точки
- •Вопрос 50. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
- •Вопрос 51. Прямолинейное Движение точки под действием силы.
- •Вопрос 52.Теорема о количестве движения
- •Вопрос 53. Теорема о моменте количества движения
- •Вопрос 54. Работа
- •Вопрос 55. Теорема о кинетической энергии материальной точки
- •Вопрос 57. Понятие о потенциальной энергии
- •Вопрос 58. Закон сохранения механической энергии
- •Вопрос 59. Принцип Даламбера для материальной точки.
- •Вопрос 60. Цели и задачи сопротивления материалов
- •Вопрос 61. Внешние и внутренние силы
- •Вопрос 62. Нормальные и касательные напряжения
- •Вопрос 63. Линейное (одноосное) напряженное состояние
- •Вопрос 64. Плоское (двухосное) напряженное состояние
- •Вопрос 65. Главные напряжения
- •Вопрос 68 Круги Мора для трехосного напряженного состояния
- •Вопрос 70. Относительное удлинение и угол сдвига
- •Вопрос 71. Компоненты тензора деформации
- •Вопрос72. Относительное объемное расширение
- •Вопрос 73. Условия совместности деформаций
- •Вопрос 78. Поперечное сжатие. Коэффициент Пуассона.
- •Вопрос 79 и 80. Предел текучести, течение материала, упрочнение, разрыв.
- •Вопрос 81. Предел упругости
- •Вопрос 82. Сжатие стального образца
- •Вопрос 83. Растяжение сжатие других технически важных материалов
- •Вопрос 84. Твердость
- •Вопрос 85. Переменная нагрузка
- •Вопрос 88. Закон Гука в общей форме
- •Вопрос 89. Теории прочности
- •Вопрос 90. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига
Вопрос 8.Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор
Умножить вектор Р на положительный скалярный множитель λ – это значит построить новый вектор Р1, модуль которого равен λР и который имеет тоже направление, что и вектор Р: (2.6)
Если множитель λ отрицателен, то направление вектора Р1 будет противоположно направлению вектора Р, а модуль вектора Р1 в этом случае будет равен , где обозначает абсолютную величину множителя λ. Таким образом, два вектора Р и всегда параллельны или расположены на одной прямой. Такие векторы называются коллинеарными.
Если λ>0, то параллельные векторы Р1 и Р направлены в одну сторону и образуют с положительным направлением оси х один и тот же угол α. Откуда:
Аналогично получим: и . Из полученных равенств следует: (2.7)
Т.е. проекции параллельных векторов на координатные оси пропорциональны. Соотношение (2.6) равносильно трем скалярным соотношениям (2.7)
Вектор, направление которого совпадает с направлением данного вектора Р и модуль которого равен единице, называется единичным вектором Р0=1 данного вектора Р. Между этими векторами существует зависимость (2.8)
Вектор можно представить в виде произведения его модуля на его единичный вектор.
Вопрос 9. Разложение вектора по координатным осям
Пусть имеем вектор . Построим в точке А систему прямоугольных координат Ахуz. Чтобы разложить вектор Р по направлениям осей, нужно построить на этих осях параллелепипед, для которого АВ является диагональю рис2.10.
Рис.2.10
Векторы называются составляющими данного вектора Р по координатным осям. Обозначив составляющие через , получим: (2.9)
Следует обратить внимание на различие между составляющими данного вектора по координатным осям и проекциями этого вектора на оси: проекция вектора на ось величина скалярная, а составляющая данного вектора есть также вектор.
Построим единичные векторы, направленные по координатным осям, направленные в положительную сторону. Эти векторы называются единичными координатными векторами (ортами) и обозначаются буквами i, j, k. Задавая векторы i, j, k, мы определяем направления осей выбранной системы координат.
На основании равенства (2.8) можно записать: , и (2.10)
Подставляя (2.10) в (2.9) получим: (2.11)
(2.11) называется формулой разложения вектора Р по координатным осям. В формуле разложения вектора по координатным осям скалярные коэффициенты при ортах i, j, k представляют собой проекции этого вектора на эти оси.
Вопрос 10.Аналитический способ сложения сил
Правило силового многоугольника позволяет геометрическим построением определить модуль и направление равнодействующей данной системы сходящихся сил. Аналитическое решение этой задачи основано на применении метода проекций и базируется на теореме о проекции равнодействующей силы на ось:
Проекция равнодействующей на какую либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.
Пусть для данных сил построен силовой многоугольник и пусть (рис.2.11). Спроектируем все силы на данную ось х. Для чего проведем через начало и конец каждой силы плоскости, перпендикулярные к оси х. Пусть эти плоскости пересекают ось х в точках а, b, с и d.
Рис.2.11
Тогда получим
Сложив эти равенства, получим:
Возьмем систему сходящихся сил, заданных своими проекциями на координатные оси. Обозначим эти проекции соответствующими заглавными буквами:
Требуется определить модуль и направление равнодействующей. Обозначив искомую равнодействующую через R и ее проекции через , согласно теореме о проекции равнодействующей получим:
Величина R определяется по формуле (2.3): (2.13)
Чтобы определить направление равнодействующей, нужно найти ее углы с координатными осями. Обозначив эти углы через α,β,γ на основании формулы (2.5) получим:
Равенства (2.13) и (2.14) представляют собой формулы для определения модуля и направления равнодействующей по заданным проекциям составляющих сил.
Из равенства (2.11) и (2.12) следует, что формула разложения равнодействующей по координатным осям имеет следующий вид:
После того как найдены модуль и направление равнодействующей сходящихся сил, можно найти и линию действия равнодействующей. Для этого надо составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения линий действия данных сил и имеющей направление их равнодействующей. По правилам аналитической геометрии получаем это уравнение в виде:
В формуле разложения вектора по координатным осям (2.15) коэффициенты при i, j, k представляют собой проекции этого вектора на соответствующие оси, следовательно, из равенства (2.15) находим, что
Проекция суммы данных векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Вопрос