2. Теорема о пополнении метрического пространства

Если метрическое пространство не является полным, то существует его пополнение. Для введения этого пополнения приведем еще ряд определений. Пусть существует два метрических пространства (X, d), (Y, p) и f – биекция X на Y.

Определение 5. Биекция f называется изометрическим изоморфизмом, если p(f(x), f(y)) = d(x, y).

Два метрических пространства изометрически изоморфные друг другу отождествляются.

Например, пространства C[0, 1] и C[0, 2] непрерывных функций на отрезках [0, 1] и [0, 2] соответственно являются изометричными. Изометрический изоморфизм между их элементами можно установить по формуле

C[0, 1] x(t) y(t)=x( ) C[0, 2].

Определение 6. Пусть (X, d) - метрическое пространство и Y  X. Множество Y называется всюду плотным в Х, если для >0, xX  yY: d(x, y)<.

Теорема 1. Пусть дано неполное метрическое пространство (X, d), тогда существует такое полное метрическое пространство (Y, p) и его всюду плотное подпространство Y₀, что (X, d) изометрически изоморфно (Y₀, p).

Доказательство. Пусть {x_n} и {y_n} - фундаментальные последовательности в Х. Будем считать, что {x_n} ~ {y_n}  d(x_n, y_n) = 0 (свойства отношения эквивалентности легко проверяются). Пусть [x_n] - класс эквивалентности, а Y- множество всех классов эквивалентности фундаментальных последовательностей. Положим ([x_n], [y_n]) = d(x_n, y_n).

Для доказательства корректности этого определения необходимо показать: 1) существование предела, 2) независимость его от выбора элементов из класса эквивалентности, 3) выполнение аксиом метрики.

1) Из неравенства четырехугольника следует, что |d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)|  d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m). Так как последовательность {x_n} и {y_n} фундаментальны, то для   > 0 N: n, m  N d(x_n, x_m) < /2 и d(y_n, y_m) < /2. Обозначим через _n = d(x_n, y_n). Из полученных выше неравенств вытекает, что при   > 0 N: n, m  N имеем |_n - _m| <  и следовательно последовательность _n фундаментальная, т. е. существует предел этой числовой последовательности. Таким образом, нужный предел существует и метрика  ([x_n], [y_n]) = d(x_n, y_n) определена.

2) Докажем, что это определение не зависит от выбора представителя класса эквивалентности. Пусть {x_n}, {x*_n}[x_n], {y_n}, {y*_n}[y_n]. Тогда d(x*_n, y*_n)  d(x*_n, x_n) + d(x_n, y_n) + d(y_n, y*_n). В силу определения классов эквивалентности имеем d(x*_n, x_n) = 0 и d(y*_n, y_n) = 0. Следовательно, d(x*_n, y*_n)  d(x_n, y_n). Последнее неравенство было установлено для произвольных представителей класса эквивалентности. Тогда поменяв местами x_n и x*_n, y_n и y*_n, получим противоположное неравенство. Итак, d(x*_n, y*_n) = d(x_n, y_n).

3) Аксиомы метрики легко доказываются при помощи предельного перехода.

Таким образом, мы установили, что (Y, p) - метрическое пространство. Докажем, что оно полно. Пусть {[x_n]^(m)} - фундаментальная последовательность в Y. Надо доказать, что [x_n]^(m)  [x_n]⁽⁰⁾  Y. Пусть {x_n^(m)}[x_n]^(m) . Так как для любого m последовательности {x_n^(m)} фундаментальны, то для р  k_p: n  k_р

d(x_n^(р) , ) < 1/р. (1)

Построим последовательность { }. Имеем

d( , )  d( , x_m^(p)) + d(x_m^(p), x_m⁽ⁿ⁾) + d(x_m⁽ⁿ⁾, ).

В силу неравенства (1) за счет выбора m, k_p, k_n можно первое и третье слагаемое в правой части этого неравенства сделать меньше любого наперед заданного числа. Так как {[x_n]^(m)} – фундаментальная последовательность, то справедливо ([x_k]^(m), [x_k]⁽ⁿ⁾) = 0. Из определения метрики  на Y  ([x_k]^(m), [x_k]⁽ⁿ⁾) = d(x_k^(m), х_k⁽ⁿ⁾) вытекает, что и второе слагаемое можно сделать меньше любого наперед заданного числа. Таким образом, последовательность { } фундаментальна в Х. Обозначим класс ее эквивалентности через [x_n]⁽⁰⁾. Покажем, что [x_k]^(m)  [x_n]⁽⁰⁾. Очевидно, имеем  ([x_n]⁽⁰⁾, [x_k]^(m)) = d( , x_p^(m))  d( , ) + d( , x_p^(m)) < d( , ) + 1/m. Последний предел, стоящий в неравенстве, в силу фундаментальности последовательности может быть сделан за счет выбора m коль угодно маленьким. Это означает, что [x_k]^(m)  [x_n]⁽⁰⁾ в Y.

Рассмотрим [x_n = x] - стационарную фундаментальную последовательность, xX, порождающую класс эквивалентности [х]. Обозначим через Y₀ - множество всех классов эквивалентности стационарных последовательностей в Х. Докажем, что Y₀ изометрически изоморфно X.

Пусть хX. Тогда этому элементу соответствует стационарная фундаментальная последовательность [х] Y₀. Очевидно, что такое соответствие является сюрьекцией. Докажем, что это и иньекция. Пусть x  y. Тогда

 ([x], [y]) = lim d(x, y)  0   ([x], [y])  0  [x]  [y].

Таким образом, данное отображение биекция, при этом  ([х], [у]) = lim d(x, y) = d(x, y) (изометрия).

Пусть [х_n]Y. Тогда {х_n} - фундаментальная последовательность в Х, т.е. для >0  s: d(x_p, x_m) <  при всех p, m > s. Построим стационарную последовательность {x = x_s}. Тогда [x]Y₀ и p([x], [x_k]) = d(x_s, x_k). В силу выбора s при достаточно больших k выполняется неравенство d(x_s, x_k) < . Этим показана плотность Y₀ в пространстве Y и доказательство теоремы завершено.