Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.

X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].

Согласно известной теореме о дифференцировании функциональной по­следовательности функция x(t) непрерывно дифференцируема (т.е. x(t) D(A)) и x'(t) = y(t). Итак, A замкнут.

Пример 24. Снова рассмотрим в С[а, b] оператор дифференцирова­ния A, но на этот раз в качестве его области определения D(A) возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на (а, b] функций, удо­влетворяющих граничному условию x(а) = 0. Теперь оператор A имеет обратный

,

определенный всюду в С[а, b] и ограниченный (||A^-1y||  (b – a)||y||). Следовательно оператор А^-1 замкнут (теорема 8), а тогда и обратный к нему оператор А также замкнут (теорема 9).

Лемма 5. Пусть А – замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом про­странстве Y. Пусть, далее, существует плотное в X множество М и постоянная с > 0, так что ||Ax||  с||х|| для всех х  М. Тогда опера­тор А ограничен.

Доказательство. Выберем элемент х₀  X. Покажем, что найдется элемент x₁  М такой, что

||x₁||  ||x₀||, ||x₁ – x₀||  ||x₀||/2 (18)

Действительно, вследствие плотности М в X для х_ = (1 – )х₀,   (0, 1), найдется элемент х₁  М такой, что ||х_ – x₁ ||  ||x₀||.

Оказывается,  можно подобрать так, чтобы элемент x₁ удовлетворял условиям (18). Имеем

||x₁||  ||x₁ - x_|| + ||x_||  ||x₀|| + (1 - )||x₀|| = ||x₀||,

||x₁ – x₀||  ||x₁ - x_|| + ||x_ - x₀||  ||x₀|| + ||x₀|| = 2||х_о||.

Возьмем  = 1/4 и получим неравенства (18).

Точно так же можно показать, что для элемента х₀ – х₁ найдется элемент х₂  М такой, что

||x₀ – x₁ – x₂||  ||x₀ – x₁||/2  ||x₀||/2², ||x₂||  ||x₀ – x₁||  ||x₀||/2.

Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального п найдутся x₁, х₂, ... , х_п  М такие, что

||x₀ – (x₁ + …+ x_n)||  ||x₀||/2ⁿ, ||x_n||  ||x₀||/2^{n – 1}.

Отсюда вытекает, что х₀ = . Далее, так как ||Ax_k||  c||x_k||  c||x₀||/2^{k – 1}, то ряд сходится абсолютно. Пусть у — его сумма. Поскольку при n   As_n  y, s_n  x₀, то, вследствие замкнутости оператора A,

.

Но тогда имеем оценку .

Вследствие произвольности х₀ доказана ограниченность оператора А, а значит, и лемма доказана.

С.Бана­ху принадлежит следующая важная в приложениях теорема.

Теорема 10 (Банаха о замкнутом графике). Пусть А — замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y. Тогда оператор А ограничен.

Доказательство. Для каждого натурального числа п рассмотрим множество

Х_п = {х  Х: ||Ax||  n||х||}. (19)

Очевидно, что

. (20)

По теореме Бэра существу­ет Х_п, которое не является нигде не плотным. Тогда найдется замкнутый шар S[x₀, r], лежащий полностью в замыкании Х_п. При этом можно полагать, что х₀  Х_п. Действительно, так как шар лежит в замыкании Х_п, то либо х₀  Х_п, либо х₀ является предельной точкой для множества Х_п. Это означает, что в Х_п найдется элемент х₁, для которого ||x₀ – x₁|| < r/4. Тогда S[x₁, r/2]  S[x₀, r] Х_п. Поэтому без ограничения общности считаем, что х₀  Х_п.

Выберем теперь элемент u₀  X с ||u₀|| = r и рассмотрим элемент у₀ = х₀ + и₀. Так как ||у₀ - х₀|| = ||и₀|| = r, то у₀  S[x₀, r]. Так этот шар лежит в замыкании Х_п найдется последовательность {y_k}  S[x₀, r]X_n такая, что при п   y_k  y₀ = х₀ + и₀. Рассмотрим теперь последовательность u_k = y_k - х₀. Так как {y_k}  S[x₀, r], то || u_k||  r, при этом u_k  и₀.

Вспоминая определение Х_п (см. (19)) и пользуясь тем, что у_k  Х_n, х₀  Х_п, получаем следующую оценку:

||Аи_k|| = ||А(у_k - х₀)||  ||Ау_k|| + ||Ax₀||  n(||у_k|| + ||х₀||) =

= n(||u_k + х₀|| + ||х_о||)  n(||u_k|| + 2||х_о||)   n(r + 2||х_о||). (21)

Далее, так как при k   ||u_k|| = ||у_k - х₀||  r, то найдется номер N такой, что при всех п > N выполняется неравенство

||u_k|| > r/2 или 1 < 2||u_k||/r.

Продолжая оценку (21) при п> N, приходим к оценке

||Аи_k||  2n||u_k||(r + 2||x₀||)/r . (22)

Отсюда получаем следующий вывод: при всех п > N (см. определе­ние Х_п ) и_k  Х_m , где m = 2n + 4n||x₀||/r.

Как отмечено выше при k   и_k  u₀. Тогда из неравенства (22) получаем, что любой элемент u₀  X с ||u₀|| = r является пределом элементов из Х_m. Но из (19) следует, что Х_m содержит вместе с каждым х и х при любом . Таким образом, Х_m плотно в X, и так как на Х_m ||Ax||  m||x||, то по лемме 5 оператор A ограничен, и теорема полно­стью доказана.

Напомним, что отображение, осуществля­емое оператором А  L(Х, Y) называется открытым, если А отображает каж­дое открытое в X множество во множество, открытое в Y.

С теоремой Банаха об обратном операторе тесно связано следующее также принадлежащее Банаху утверждение.

Теорема 11 (теорема Банаха об открытом отображении). Пусть X, Y – банаховы пространства, А  L(Х, Y) и R(A) = Y. Тогда отображение, осуществляемое оператором А, являет­ся открытым.

Доказательство. Согласно определению открытого множества до­статочно доказать, что для всякого открытого шара S(x₀, r)  X найдется открытый шар S(y₀, ), у₀ = Ах₀ такой, что S(y₀, )  A(S(x₀, r)). Вслед­ствие линейности А можно принять х₀ = 0, у₀ = 0 и r = 1.

а) Пусть сначала N(A) = {0}. Тогда оператор А удовлетворяет теореме об обратном операто­ре и значит А непрерывно обратим. Если ||у|| <  = ||A^-1||^-1, то для х = А^-1у имеем оценку ||x||  ||A^-1||||y|| < 1 и теорема доказана.

б) Пусть теперь N{A)  {0}. N(A) – замкнуто в силу непрерывности оператора А и, следовательно, яв­ляется подпространством в X. Введем фактор-пространство = X/N(A), также являющееся банаховым пространством (см. теорему 5.2) с нормой

.

В определим линейный оператор , действующий по формуле = Ах, где х . Нетрудно проверить, что так определенный оператор корректно определен, линеен и ограничен. При этом .

По теореме Банаха об обратном операторе непрерывно обратим. Мы находимся в условиях пункта а) для оператора . Это означает, что если ||y|| < , то , где . Но по определению нормы в найдется такое, что . Следовательно, если ||y|| < /2, то y = Ax с ||x|| < 1. Теорема полностью доказана.

Задачи

1. Какие из следующих операторов являются непрерывными?

1) A: RⁿRⁿ определен формулой y_i= , i = 1,…,n;

2) A: C[0, 1]  C[0, 1] определен формулой Ax(t) = ;

3) d/dt: C¹[0, 1]  C[0, 1];

4) d/dt: C[0, 1]  C[0, 1] определен на множестве непрерывно дифференцируемых функций из C[0, 1];

5) A: C[0, 1]  C[0, 1] определен формулой Ax(t) = , где K(t,) непрерывна на квадрате [0, 1][0, 1];

6) A: L²[0, 1]  L²[0, 1] определен формулой Ax(t)= , где K(t,)L²([0, 1][0, 1]).

2. Если имеется ортонормальный базис в гильбертовом пространстве Н, то всякий линейный оператор А может быть задан бесконечной матрицей , где .

Доказать, что для ограниченности оператора А необходимо и достаточно для бы некоторого M и любых , выполнялось условие . Получить неравенства

.

3. Показать, что оператор нормального типа (пример 4) обладает ограниченным обратным тогда и только тогда, когда соответствующие числа по модулю больше положительной постоянной.

4. Найти норму оператора в пространстве .

5. Найти норму оператора в пространстве .

6. Найти норму оператора в пространстве , если .

7. Доказать линейность и найти норму в пространстве

а) оператора для ,

б) функционала , где .

8. В пространстве рассмотрим операторы

, ,

где ядро непрерывно на , и такой полином, что

при .

Сходятся ли операторы к оператору А? Какой характер носит эта сходимость?

Ответить на те же вопросы для операторов

, ,

где и при .

9. Пусть . Будут ли операторы А и В перестановочны?

10. Найдите ядра и образы операторов, отображающих l²  l², заданных формулами

(х₁, х₂,…)  (0,х₁, х₂,…);

(х₁, х₂,…)  (х₂, х₃,…);

(х₁, х₂,…)  (х₁, х₂/2, х₃/3,…).

11. Доказать, что оператор, отображающий линейное нормированное пространство Х в фактор-пространство Х/L (L – линейное пространство, замкнутое по норме Х) и ставящий в соответствие элементу х Х содержащий его класс эквивалентности, является линейным ограниченным оператором.

12. Пусть Н – гильбертово пространство, А: Н  Н – ограниченный линейный оператор, определенный на всем Н. Доказать, что

13. Пусть – ортонормированный базис гильбертова пространства Н, _nR. Доказать, что если последовательность _n ограничена, то равенства Ае_n = _ne_n определяют линейный ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве Н, причем норма ||A|| = .

14. Пусть Х, Y – банаховы пространства и А  L(X, Y). Всегда ли равенства

а) ||x||₁ = ||Ax||; б) ||x||₂ = ||x|| + ||Ax||

задают в Х норму? Будет ли Х в этой норме банаховым пространством?

15. Пусть Х, Y – банаховы пространства и последовательность {А_n}  L(X, Y) такова, что для любого х  Х последовательность {А_nх} фундаментальна в Y. Доказать, что существует А  L(X, Y) такой, что Ах = для любого х  Х. Доказать, что ||A||  . Можно ли последнее неравенство заменить равенством?

16. Пусть Х, Y – банаховы пространства и последовательность {А_n}  L(X, Y), А_nх  Ах на любом элементе х  Х. Доказать, что если x_n  x, то А_nх_n  Ах.

17. Пусть Х, Y – нормированные пространства, причем пространство Y конечномерно. Пусть А – линейный оператор из Х в Y. Доказать, что оператор А непрерывен тогда и только тогда, когда ядро оператора А замкнуто. Верно ли это утверждение в случае бесконечномерного пространства Y?

18. Пусть оператор I – оператор естественного вложения пространства l₁ в пространство l₂. Доказать, что он является непрерывным оператором, но не имеет ограниченного обратного.

19. В пространстве l₂ для элемента х = (х₁, х₂, …)  l₂ определим последовательности операторов:

;

.

Являются ли эти последовательности сходящимися а) поточечно; б) по операторной норме?

20. Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве С[0, 1] по формуле

и последовательность операторов А_n, действующих в пространстве С[0, 1] по формуле

.

Сходится ли последовательность А_n к А?

21. Доказать, что если для любого х  l₂ верно включение (x₁y₁, x₂y₂, ..)  l₁, то y  l₂.

22. Пусть Х нормированное пространство, оператор А действует в нем и при некоторых _k R удовлетворяет соотношению I + ₁A + ₂A² + …+ _nAⁿ = 0. Доказать, что существует обратный оператор к оператору А.

23. Доказать, что оператор А: С¹[0, 1]  C[0, 1] : имеет правый, но не имеет левого обратного.

24. В пространстве С¹[0, 1] рассмотрим подпространство L = {x(t) С¹[0, 1]: x(0) = 0} и оператор А: L  С[0, 1]

,

где а(t) непрерывная на отрезке [0, 1] функция. Доказать, что оператор А имеет ограниченный обратный.

25. Рассмотрим оператор А: С[0, 1]  C[0, 1]:

.

Что представляет собой множество значений оператора А? Существует ли обратный оператор на множестве значений и ограничен ли он?

26. Рассмотрим оператор А: С[0, 1]  C[0, 1]

.

Доказать, что А имеет ограниченный обратный на всем C[0, 1] и найти А^-1.

27. Доказать, что оператор А: С[0, 1]  C[0, 1]:

непрерывно обратим и найти А^-1.

28. Рассмотрим оператор А: l_p  l_q, 1 p, q < +, который определяется формулой

Ах = (₁х₁, ₂х₂, …), х = (х₁, х₂, …)

где _k – заданная последовательность чисел, k = 1, 2, … Какова должна быть последовательность этих чисел, чтобы оператор А был ограничен?