- •Введение
- •Глава 1 топологические пространства
- •1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
- •2. Топология и топологическое пространство. База топологии
- •3. Структура открытых множеств и окрестности
- •4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- •5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
- •6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
- •7. Сепарабельные топологические пространства
- •8. Индуцированные топологии и фактортопология
- •9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
- •10. Компактные пространства
- •Глава 2 свойства метрических пространств
- •1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- •2. Теорема о пополнении метрического пространства
- •3. Критерий полноты пространства
- •4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
- •5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
- •6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]
- •7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
- •8. Принцип сжимающих отображений и его применение
- •9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
- •Глава 3 мера и измеримые множества
- •1. Системы множеств
- •2. Системы множеств в евклидовом пространстве
- •3. Функция множеств
- •4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
- •5. Внешняя мера
- •6. Измеримые множества
- •7. Мера Лебега на Rn
- •Глава 4 измеримые функции
- •1. Измеримые функции и их свойства
- •2. Сходимость почти всюду
- •3. Сходимость по мере и ее свойства
- •4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
- •5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
- •Глава 5 интеграл лебега
- •1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
- •2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
- •3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
- •4. Предельный переход под знаком интеграла
- •5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
- •Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства
- •2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
- •3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
- •4. Ортогональность и ортогональное дополнение
- •5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
- •Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах
- •2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
- •3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
- •4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
- •5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - a) и (a - c).
- •6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- •Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.
- •X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
- •Глава 8 линейные функционалы в нормированных пространствах
- •1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- •2. Сопряженные пространства
- •3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- •4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
- •5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- •6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
- •Глава 9 спектральная теория операторов
- •1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
- •2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- •3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
- •Предметный указатель
2. Сходимость почти всюду
Пусть (X, , ) – измеримое пространство со счетно-аддитивной полной мерой и множество Е . Далее мы пишем, что функции f g на множестве Е, если выполняется неравенство f(x) g(x) при всех х Е.
Определение 2. Последовательность функций {fn} на множестве Е сходится к функции f(х) = , если выполняется равенство f(x) = при всех х Е.
Последовательность функций {fn} сходится монотонно возрастая fn f на Е, если f = , на Е и последовательность не убывает fi fi+l, i =1,2,..., на множестве Е. Аналогично определяется монотонная сходимость вида fn f на множестве Е.
Определение 3. Функция h: Е R называется простой, если она имеет конечное множество значений. Пусть h принимает значения hj на множествах Hj, j = 1, 2, ...,k. Тогда Hj образуют конечное разбиение множества и имеет место равенство
,
где - характеристическая функция множества Hj. Непосредственной проверкой убеждаемся, что простая функция h(x) измерима тогда и только тогда, когда все множества Hj измеримы. В приведенном представлении предполагается, что hj различны при различных значениях j. На практике встречаются случаи, когда отслеживать данное условие обременительно, и мы допускаем, что при разных значениях индекса могут быть одни и те же значения функции.
Теорема 2. Для каждой неотрицательной измеримой функции f на множестве Е найдется такая последовательность простых неотрицательных измеримых функций hn(х), которая сходится монотонно hn f на множестве Е.
Доказательство. Зададим последовательность простых функций на множестве Е по формуле:
,
где и Вп = E(f 2n). Эти функции неотрицательны и измеримы на множестве Е. Покажем, что последовательность простых функций {hn} является неубывающей. Поскольку , то
.
Далее, так как 0 f(x) – hn(x) < 1/2n при всех х E(f < 2n), то эта последовательность сходится монотонно к функции f на множестве Е.
Следствие 1. Для каждой неотрицательной ограниченной измеримой функции f на множестве Е найдется такая последовательность hn(х) простых неотрицательных измеримых функций, что {hn} сходится монотонно и равномерно на множестве Е к функции f.
Утверждение следствия установлено по существу в ходе доказательства теоремы.
Определение 4. Последовательность функций {fn} сходится почти всюду (п. в.) к функции f на множестве Е, если существует такое множество А меры нуль (А) = 0, что справедливо равенство f(x) = при всех х Е\A.
Две функции называются эквивалентными f~g, если существует такое множество А Е меры нуль (А) = 0, что f(x) = g(x) при всех х Е\А. В силу полноты меры из измеримости функции вытекает измеримость любой эквивалентной функции.
В пространстве S(E) всех измеримых функций на множестве Е эквивалентные функции отождествляются так, что элементами этого пространства, на самом деле, являются классы эквивалентных функций.
Нетрудно проверить, что предел f(x) = почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций является также измеримой функцией и определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Действительно, пусть А множество нулевой меры из определения. Тогда последовательность {fnЕ\А} сходится для всех x E\A к функции f(x) Е\А. В силу следствия 2 из леммы 1 последняя функции является измеримой. Тогда функция f(x) Е\А + А является измеримой на Е, как сумма двух измеримых функций. Причем построенная функция эквивалента f(x), а следовательно, последняя является измеримой функцией.
Лемма 2. Пусть Е = {x X: fn(x) f(x) при п }. Тогда
X\E =
Доказательство. Точка x X \ E в том и только в том случае, когда fn(x) не сходится к f(x). Но последнее по определению означает, что для некоторого m0 при любом п 1 найдется такое k > п, что |fk(x) – f(x)| > . Последнее означает, что х для любого n. Следовательно, х и х . Обратное включение проверяется уже просто.
Теорема 3 (критерий сходимости почти всюду). Пусть (Х) <. Тогда последовательность fn(x) f(x) почти всюду на X в том и только в том случае, когда для любого > 0 выполнено равенство
.
Доказательство. Достаточно установить, что сходимость почти всюду эквивалентна тому, что для любого натурального т
В обозначениях леммы 2 сходимость fn(x) f(x) почти всюду на X эквивалентна тому, что (Х \Е) = 0 или . Но это, в свою очередь, равносильно тому, что для любого т выполнено равенство . Определим для фиксированного m множества Gn = при всех натуральных п. Тогда G1 G2 ... Для завершения доказательства остается только заметить, что по теореме о непрерывности меры (теорема 3.5)
.