6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества

Рассмотрим еще два важных понятия, связанных с понятием окрестности.

Определение 14. Точка х  А называется внутренней точкой множества А, если найдется такая ее окрестность О(x), что О(x)  А.

Множество всех внутренних точек множества А называется внутренностью А и обозначается Int А.

Пример 18. Пусть А = [0, 1] – отрезок вещественной прямой, тогда Int [0, 1] = (0, 1).

Операция Int двойственна операции замыкания, что видно из ее свойств, формулируемых в следующей теореме.

Теорема 7. Для любого множества А  Х имеем:

1) Int А – открытое множество,

2) Int А – наибольшее открытое множество, содержащееся в А;

3) (А - открыто)  (Int А = А);

4) (x  Int А)  (х  А и х не является предельной точкой для Х\А);

5)  = X\Int А.

Доказательство. Свойства 1) – 3) почти очевидны. Проверим, например, свойство 1). Пусть х  Int А; тогда найдется такая открытая окрестность О(х) точки х, что О(х)  А. Но О(х) открыто, т.е. каждая ее точка внутренняя для А и следовательно О(х)  IntА. Поэтому по теореме 2 Int А – открытое множество.

Проверим свойство 4). Если x  Int А, то, очевидно, х  А и х  (Х\А)'. Обратно: если х  А и х  (Х\А)', то найдется окрестность U(x)  А, следовательно, х  Int А.

Проверку свойства 5) предоставим читателям.

Следующие важные понятия – понятия граничной точки и границы множества А, ассоциируются с интуитивным представлением о «перегородке», отделяющей область.

Определение 15. Граничной точкой множества А называется точка х из топологического пространства Х, которая обладает свойством, что пересечение любой окрестности О(х) с множеством А и с множеством Х\А не пусто. Границей дА множества А назовем множество всех граничных точек А.

Таким образом, х  дА тогда и только тогда, когда каждая окрестность х содержит точку как из А, так и из Х\А.

Пример 19. Пусть Х = R¹ и А = (0, 1) Тогда дА = {0, 1} – множество из двух точек: 0 и 1.

Мы снова получили операцию над множеством. Ее связь с операциями замыкания и Int выясняет следующая теорема.

Теорема 8. Для любого А  Х имеем:

1) дА = А  ;

2) дА = А\IntА;

3) А = А  дА;

4) Int А = А\дА;

5) (А замкнутo)  (дА  А);

6) (А открыто)  ((дА)  А =).

Доказательство. Докажем некоторые из этих утверждений, оставив другие в качестве упражнения. 1) Пусть х  дА. Тогда в любой окрестности О(x) точки х найдутся точки х₁, х₂ такие, что х₁  A, х₂  Х\А. Отсюда х  A и х  , т. е. х  A  . Обратно: если х  А  , то х  А, х  и значит для любой окрестности О(х) пересечения О(х)А   и О(х) (Х/А)  . Следовательно х граничная точка.

2) Согласно пункту 1) дА  А. С другой стороны, если х  IntA, то существует окрестность этой точки, которая полностью лежит в А и, следовательно, не пересекается с Х/А, т.е. х  дА. Значит дА  А\IntA. Наоборот, если х А\IntA, то пересечение любой окрестности точки с А не будет пустым (принадлежность замыканию), но также не будет пустым и пересечение любой окрестности с Х\А, т.к. точка не является внутренней.

3) Так как Int A  A, то из 2) следует A = Int A  дА  А  дА; так как дА А и А А, то А  дА  А