5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве

В этом параграфе мы снова обратимся к изучению свойств топологических пространств и рассмотрим операции замыкания, выделения внутренней части и границы множества и тесно связанное с этими операциями понятие предельных и граничных точек. Все эти понятия обобщают известные понятия математического анализа.

Пусть (Х, ) – топологическое пространство.

Опрелеление 10. Замыканием А множества А  Х называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих А.

Очевидны следующие утверждения.

1. Замыкание А – наименьшее замкнутое множество, содержащее А.

2. Если А замкнуто, то А = А.

Замкнутое множество можно охарактеризовать через понятие предельной точки, определяемое ниже.

Определение 11. Точка х  Х называется предельной для данного множества A  Х, если в каждой окрестности U(х) точки х содержится хотя бы одна точка х'  А, отличная от х.

Пример 17. Рассмотрим в R¹ множества А = {n}, В = {1/n}, n = 1, 2,…, C = (0, 1), D = [0,1].

Множество А не имеет предельных точек, множество В имеет одну предельную точку 0, предельные точки множеств С и D заполняют весь отрезок [0, 1].

Понятие предельной точки в топологическом пространстве является, как легко видеть, обобщением понятия предельной точки в анализе. Докажем несколько полезных утверждений, связанных с понятием предельных точек.

Теорема 4. Множество А  Х замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Доказательство. Пусть A замкнуто, х – предельная точка А и х  А. Тогда х принадлежат открытому множеству О(x) = Х\А, являющемуся окрестностью точки х. Но О(x)  А =  , что противоречит тому, что х – предельная точка.

Пусть А содержит все свои предельные точки. Покажем, что оно замкнуто, т. е. что его дополнение U = Х\А открыто. Для этого достаточно в силу теоремы 2 показать, что для любой точки х  U найдется такая окрестность О(x) точки х, что О(x)  U. Предположим противное, что для некоторой точки х₀  U и всякой ее окрестности О(x₀) найдется точка х'  О(х₀) такая, что х'  U. Тогда х'  Х\U = А, следовательно, x₀ – предельная точка для А, и, значит, х₀  А в противоречие с предположением, что х₀  U = Х\А.

Множество всех предельных точек множества А называют производным множеством множества А и обозначают А'. Таким образом, возникает новая операция, сопоставляющая каждому множеству А  Х его производное множество А'.

Теорема 5. Для любого множества А  Х множество А  А' замкнуто.

Доказательство. Покажем, что множество Х\(А  А') открыто. Пусть х – произвольная точка из Х\(А  А'). Тогда х не предельная точка для А, поэтому найдется такая ее открытая окрестность О(x), что О(x)  А = . Пусть х'  О(х) – произвольная точка. Тогда О(х) окрестность точки х', причем О(x)  А = . Следовательно, х' не предельная точка для А и О(x)  А' = . Таким образом, О(x)  Х\(А  А'); ввиду произвольности х множество Х\(А  А') открыто, следовательно, А  А' замкнуто.

Докажем основное утверждение о структуре замыкания множества.

Теорема 6. А = А  А' для всякого множества А, А  X.

Доказательство. По теореме 5 множество АА' замкнуто. Следовательно, по определению замыкания А  АА'. С другой стороны, любое замкнутое множество, содержащее А, содержит все свои предельные точки (см. теорему 4) и тогда все предельные точки А, а следовательно, содержит А'. Отсюда следует, что А  А' А. Таким образом, А = А  А'.

Определение 12. Точка х  А называется изолированной точкой множества А, если существует окрестность О(x) точки х, не содержащая точек множества А, отличных от х.

Очевидно, что точка х А изолирована тогда и только тогда, когда х  А\ А'.

Определение 13. Множество А называется дискретным, если каждая его точка изолирована.