Глава 4 измеримые функции

1. Измеримые функции и их свойства

В классическом анализе используются главным образом непрерывные или кусочно-непрерывные функции. В современном функциональном анализе применяются так называемые измеримые функции. Класс этих функций достаточно широк и в основном он удовлетворяет потребностям анализа.

Рассмотрим измеримое пространство (X, , ) со счетно-аддитивной полной мерой .

Определение 1. Пусть Е . Действительная функция f: E  R называется измеримой на множестве Е, если лебеговы множества этой функции:

Е(f < с) = {хЕ: f(х) < с}

измеримы, т. е. E(f <с)   при всех с  R.

Из этого определения, в частности, сразу следует, что если Х = R и  – алгебра измеримых функций по мере на числовой прямой, то любая непрерывная функция является измеримой. Это вытекает из определения непрерывных функций (определение 1.18): если полный прообраз f ^-1(V) любого открытого множества V является открытым множеством.

Поскольку система  есть -алгебра, то из условия измеримости всех лебеговых множеств E(f <с) вытекает измеримость следующих множеств:

E(fc) = E\E(f<c); E(fc) = E(f < c + 1/n); E(f>c) = E\E{fc); E{a  f < b) = E(f < b) \E(f < a);

E(a < f < b ) = E(f < b)\E(f  a); E{a < f  b) = E(f  b) \E(f  a); E{a  f  b) = E(f  b) \E(f < a).

Отметим, что измеримые функции могут принимать и бесконечные значения. Поэтому также измеримыми являются множества:

E(f = +) = E(f > n); E(f = -) = X\ E(f < -n).

Обозначим через  систему всех открытых множеств на прямой R и рассмотрим минимальную -алгебру, содержащую все открытые множества . Напомним (определение 3.28), что множества А, принадлежащие этой -алгебре, называются борелевскими. Так как дополнение открытого множества является замкнутым, то все открытые и замкнутые мно­жества являются борелевскими. В том числе все проме­жутки на прямой (отрезки, интервалы и полуинтервалы) являются борелевскими множествами.

Теорема 1. Функция f: Е R измерима тогда и только тогда, когда прообраз любого борелевского множества является измеримым, т. е. имеет место включение f ^–l(A)   для всех борелевских множеств. А  R.

Доказательство. Достаточность очевидна, так как все интервалы (-; c) являются борелевскими множествами. Докажем необходимость.

Предположим, что функция f измерима, и обозначим через  систему множеств А  R, у которых прообраз f^{- -1}(А) измерим. Так как  является -алгеброй и

f ^-1(A\B) = f ^-1(A)\ f ^-1(B), ,

то  есть -алгебра. По предположению (см. выше) все множества вида f ^-1(a, b) = E(a< f < b) измеримы и сле­довательно система  содержит все интервалы (а, b). Поскольку каждое открытое множество из R является объединением не более, чем счетного числа интервалов, то   . Поэтому в силу минимальности борелевской -алгебры справедливо включение в  всех борелевских множеств.

Для доказательства измеримости функции f, задан­ной на сумме E = конечного или счетного числа измеримых множеств, достаточно проверить ее измери­мость на каждом множестве А_i. Заметим, что измери­мость функции f на множестве Е влечет ее измеримость на каждом измеримом подмножестве А  Е.

Лемма 1. Пусть функции f(x) и g(x) измеримы на множестве Е, а функция двух действительных пере­менных h(u,v) непрерывна на открытом множестве D  R², при этом (f(x),g(x))  D для всех х Е. Тогда сложная функция F(x) = h(f(x), g(x)) является измеримой на множестве Е.

Доказательство. В силу непрерывности функции h(u,v) множество D(h < с) является открытым в R². Поэтому его можно представить в виде конечного или счетного объединения открытых прямоугольников (теорема 3.12):

D(h < с) = , А_i = (a_i, b_i)  (c_i, d_i).

Заметим, что E((f, g)  А_i) = E(а_i < f < b_i) E(с_i < g < d_i) есть измеримое множество. Отсюда множество E(F < c) = будет также измеримым, поскольку система множеств Е является -алгеброй.

Из этой леммы получаются следующие свойства.

Следствие 1. Пусть функции f и g измеримы на Е. Тогда их сумма f + g и произведение fg измеримы на Е. Частное f/g измеримо, если g(x)  0 при всех х  Е. Степень |f|^p измерима при всех р > 0.

Утверждение легко вытекает из леммы и непрерывности соответствующих функций u + v, uv и т.д.

Следствие 2. Пусть последовательность {f_n} состоит из изме­римых на множестве Е функций. Если функции вида f_n(x), f_n(x), , принимают конечные значения на Е, то они измеримы.

Если предел функций f(x) = существует при всех х  Е, то f является измеримой функцией.

Измеримость нижней и верхней грани последователь­ности функций доказывается применением следующих соотношений:

E( f_n < c) = E(f_n < c), f_n(x) = – (– f_n(x)).

Так как при всех х  Е справедливы равенства

= , = ,

то верхний и нижний пределы будут также измеримыми. Отсюда предел последовательности измеримых функций f = = = является измеримым.