- •Введение
- •Глава 1 топологические пространства
- •1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
- •2. Топология и топологическое пространство. База топологии
- •3. Структура открытых множеств и окрестности
- •4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- •5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
- •6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
- •7. Сепарабельные топологические пространства
- •8. Индуцированные топологии и фактортопология
- •9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
- •10. Компактные пространства
- •Глава 2 свойства метрических пространств
- •1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- •2. Теорема о пополнении метрического пространства
- •3. Критерий полноты пространства
- •4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
- •5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
- •6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]
- •7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
- •8. Принцип сжимающих отображений и его применение
- •9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
- •Глава 3 мера и измеримые множества
- •1. Системы множеств
- •2. Системы множеств в евклидовом пространстве
- •3. Функция множеств
- •4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
- •5. Внешняя мера
- •6. Измеримые множества
- •7. Мера Лебега на Rn
- •Глава 4 измеримые функции
- •1. Измеримые функции и их свойства
- •2. Сходимость почти всюду
- •3. Сходимость по мере и ее свойства
- •4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
- •5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
- •Глава 5 интеграл лебега
- •1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
- •2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
- •3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
- •4. Предельный переход под знаком интеграла
- •5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
- •Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства
- •2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
- •3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
- •4. Ортогональность и ортогональное дополнение
- •5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
- •Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах
- •2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
- •3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
- •4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
- •5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - a) и (a - c).
- •6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- •Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.
- •X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
- •Глава 8 линейные функционалы в нормированных пространствах
- •1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- •2. Сопряженные пространства
- •3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- •4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
- •5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- •6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
- •Глава 9 спектральная теория операторов
- •1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
- •2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- •3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
- •Предметный указатель
9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
Обсудим теперь определение непрерывного отображения топологических пространств. Пусть (Х, ), (Y, ) – два топологических пространства с топологиями и соответственно. Пусть f: X Y – отображение множеств.
Определение 18. Говорят, что f – непрерывное отображение топологических пространств, если полный прообраз f -1(V) любого открытого множества V пространства (Y, ) является открытым множеством пространства (Х, ).
Если f: Х У, g: У Z – отображения топологических пространств, то естественно определяется суперпозиция gf: Х Z по правилу (gf): х g(f(x)).
Теорема 10. Если f, g непрерывные, то и gf непрерывно.
Доказательство легко следует из равенства
(gf)-1(W) = f -1(g -1(W)),
где W Z – произвольное множество. Проверим это равенство. Пусть х (gf)-1(W). Тогда g(f(x)) W f(x) g -1(W) x f -1(g -1(W)). Аналогично доказывается противоположное включение.
Определение 19. Отображение f: Х Y называется открытым (замкнутым), если образ каждого открытого (замкнутого) множества в Х открыт (замкнут) в Y.
Определение 20. Два топологических пространства, (Х, ), (Y, '), называются гомеоморфными, если существует отображение f: Х Y, удовлетворяющее условиям:
1) f: X Y – биективное отображение;
2) f непрерывно;
3) f открыто.
Из биективности отображения f вытекает существование обратного отображения. Обозначим его через g. Если взять в Х открытое множество U, то g -1(U) = f (U) – является открытым множеством. Таким образом, обратное отображение к гомеоморфному также является непрерывным.
Сопоставление каждому открытому множеству U пространства Х его образа f (U) при гомеоморфизме f: X Y устанавливает биективное соответствие между топологиями пространств Х и Y. Поэтому любое свойство пространства Х, формулируемое в терминах топологии этого пространства, будет верным и для пространства Y, гомеоморфного Х, и так же будет формулироваться в терминах топологии У. Таким образом, гомеоморфные пространства Х и Y обладают идентичными свойствами и с этой точки зрения являются неразличимыми.
Если f: X Z – непрерывное отображение топологических пространств (Х, ), (Z, ), а Y – подпространство Х, то можно рассматривать и отображение f: Y Z, которое называется сужением f на Y и обозначается fY.
Теорема 11. Отображение fY : Y Z непрерывно.
Доказательство. Пусть W, тогда (fY)-1(W) = f -1(W) У. Так как f -1(W), то (fY)-1 (W) Y.
Определение 21. Отображение f: Х Y топологических пространств непрерывно в точке х0Х, если для всякой окрестности О(f(x0)) точки f (х0) существует окрестность O(x0) точки х0 такая, что f(O(x0)) O(f(x0)).
Теорема 12. Отображение f: Х Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке х Х.
Доказательство. Пусть f: Х Y непрерывно, х0 Х– произвольная точка и O(f(x0)) – произвольная окрестность точки f (х0). Тогда найдется открытое множество V Y такое, что V O(f (x0)) и f (х0) V. Положим U = f -1(V), U – открытое множество, x0 U. Тогда f(U) = V O(f (х0)), что по теореме 2 и доказывает непрерывность f в точке х0.
Обратно: пусть f непрерывно в каждой точке х Х. Пусть V Y – произвольное открытое множество и пусть А = f -1(V). Так как V – окрестность любой своей точки и f непрерывно в каждой точке, то для всякого х А есть окрестность O(x) точки х такая, что f (O(x)) V. Следовательно, O(x) А, т.е. любая точка А является внутренней, что и доказывает открытость А. Непрерывность f доказана.