2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции

В этом пункте мы установим ряд свойств интеграла от огра­ниченной измеримой функции.

Теорема 3 (о среднем). Если измеримая функция f(x) на измеримом мно­жестве Е удовлетворяет неравенствам a  f(x)  b, то a (E)   b (E).

Доказательство. Если мы положим A = a, B = b в определении интеграла, то окажется, что A  f(x)  B, и суммы Лебега можно будет составлять, дробя отрезок [А, В]. Но если A  y_k  B, то, очевидно,

A   B

или, что то же самое, a (E)  s  b(E),откуда и в пределе

a (E)   b (E).

Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.

Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то

= c (E).

Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положи­тельна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3. Если  (Е) = 0, то для любой ограниченной функ­ции f(x), заданной на множестве Е, будет = 0.

Теорема 4 (полная или счетная аддитивность интеграла по области интегрирования). Пусть на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекаю­щихся измеримых множеств E = (E_kE_i = , k  i ), то

=

Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум Е = E₁ + E₂ (E₁ E₂ = . Если на множестве Е A  f(x)  B и мы, раздробив отрезок [А, В] точками у₀, y₁, , у_n, составим множества e_k = E(y_k  f  y_k+1), e_k= E₁(y_k  f  y_k+1), e_k= E₂(y_k  f  y_k+1), то, очевидно, будем иметь e_k = e_k + e_k (e_ke_k = ), откуда

= +

и в пределе, при   0,

= +

Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств. Остается рассмотреть случай, когда E = . В этом случае

=  (E),

так что при n   в силу свойства непрерывности меры будет  0. Заметив это, положим = R_n, причем (R_n)  0 при n  . Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже дока­зана, то

= + .

В силу теоремы о среднем A (R_n)   B (R_n), а в силу стремления меры множества R_n к нулю с возраста­нием n, ясно, что  0. Но это и означает, что

=

Из этой теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то = .

Действительно, если H = Е(f  g), G = E(f = g), то (H) = 0 и = = 0.

На множестве же G обе функции тождественны и = . Остается сложить это равенство с предыдущим.

В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.

Достаточно очевидно, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на отрезке [–1, +1], так:

то

= + = -1 + 1 = 0,

хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю.

Однако справедливо

Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной из­меримой ограниченной функции f(x) равен нулю (f(x)  0), то эта функция эквивалентна нулю.

В самом деле, легко видеть, что E(f  0) = . Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо на­шлось бы такое n₀, что E =   0. Полагая A = E , B = Е - A, мы имели бы, что  ,  0, и, складывая эти неравенства, мы получили бы  , что противоречит условию.

Теорема 5 (свойство аддитивности интеграла). Если на измеримом множестве E заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), то

= + .

Доказательство. Следующие неравенства достаточно очевидны:

d(, f ) + d(, g )  d(, f + g )  D(, f + g )  D(, f ) + D(, g ).

В силу следствия теоремы 1 крайние члены этих неравенств можно сделать сколько угодно близкими. Последнее предельным переходом приводит к необходимым равенствам.

Теорема 6 (свойство однородности интеграла). Если на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то

= c .

Доказательство. Утверждение очевидно при с = 0.

Пусть c > 0 и А  f(x)  B. Разбиваем отрезок [A, B] и вводим множества e_k. В силу теоремы о полной аддитивности по области интегрирования получаем

.

Но на множестве e_k функция f(x) удовлетворяет неравенствам сy_k  f(x) < cy_{k + 1}, так что в силу теоремы о среднем

.

Сложив все такие неравенства, получим

,

где s и S – интегральные суммы Лебега функции f(x). Нужное равенство получается предельным переходом в этих неравенствах и из теоремы 2.

Пусть, наконец, c < 0. Тогда

,

откуда следует теорема.

Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на мно­жестве Е, то

= – .

Теорема 7. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если f(x)  F(x), то

 .

Теорема 8. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то



Теоремы доказываются стандартно, как соответствующие неравенства для интеграла Римана.