- •Введение
- •Глава 1 топологические пространства
- •1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
- •2. Топология и топологическое пространство. База топологии
- •3. Структура открытых множеств и окрестности
- •4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- •5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
- •6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
- •7. Сепарабельные топологические пространства
- •8. Индуцированные топологии и фактортопология
- •9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
- •10. Компактные пространства
- •Глава 2 свойства метрических пространств
- •1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- •2. Теорема о пополнении метрического пространства
- •3. Критерий полноты пространства
- •4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
- •5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
- •6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]
- •7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
- •8. Принцип сжимающих отображений и его применение
- •9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
- •Глава 3 мера и измеримые множества
- •1. Системы множеств
- •2. Системы множеств в евклидовом пространстве
- •3. Функция множеств
- •4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
- •5. Внешняя мера
- •6. Измеримые множества
- •7. Мера Лебега на Rn
- •Глава 4 измеримые функции
- •1. Измеримые функции и их свойства
- •2. Сходимость почти всюду
- •3. Сходимость по мере и ее свойства
- •4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
- •5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
- •Глава 5 интеграл лебега
- •1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
- •2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
- •3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
- •4. Предельный переход под знаком интеграла
- •5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
- •Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства
- •2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
- •3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
- •4. Ортогональность и ортогональное дополнение
- •5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
- •Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах
- •2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
- •3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
- •4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
- •5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - a) и (a - c).
- •6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- •Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.
- •X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
- •Глава 8 линейные функционалы в нормированных пространствах
- •1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- •2. Сопряженные пространства
- •3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- •4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
- •5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- •6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
- •Глава 9 спектральная теория операторов
- •1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
- •2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- •3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
- •Предметный указатель
4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
Если дан оператор то оператор , удовлетворяющий равенствам
В(Ах)=х для любого , (8)
А(Ву)=у для любого (9)
называется оператором, обратным к оператору А. Равенства (9) и (10) можно записать также в виде
(8*)
(9*)
где и – единичные операторы, действующие в пространствах Х и Y соответственно. Оператор, обратный к А, обозначается символом А-1.
Из общей теории отображений хорошо известно, что необходимым и достаточным условием существования обратного является биективность отображения, т.е. инъективность и сюрьективность. Оказывается для линейных операторов инъективность может быть описаны следующим образом. Пусть и N(A) = {xX: Ax = 0} – ядро оператора. В силу линейности нетрудно показать, что N(A) само является линейным многообразием. Из непрерывности оператора А легко следует, что это многообразие замкнуто, т.е. N(A) является подпространством Х. Справедлива лемма.
Лемма 4. Для того чтобы оператор А был инъективен необходимо и достаточно, чтобы N(A) = {0}.
Доказательство. Если оператор инъективен, то равенство очевидно. Покажем, что если N(A) = {0}, то оператор инъективен. Действительно, если Ах1 = Ах2, то Ах1 - Ах2 = А(х1 – х2) = 0 и (х1 – х2)N(A). Следовательно, х1 – х2 = 0, последнее и есть инъективность.
Если обратный оператор существует, то операторное уравнение
(10)
где у – известный элемент, х – искомый элемент, имеет решение при любой правой части и притом только одно. В самом деле, полагая мы будем иметь, что , т. е. что х0, есть решение уравнения (10), и следовательно, решение существует. Если – другое решение того же уравнения, т.е. то, действуя на обе части этого равенства оператором А-1, получим или откуда следует, что решение единственно. Ясно поэтому, что решение операторного уравнения (10) сводится к нахождению обратного оператора. Заметим, что обратный оператор может быть лишь один, так как если AB=BA =I и AB1 =B1А = I, то
Однако из непрерывности оператора А, вообще говоря, не следует непрерывность обратного оператора, т.е. оператор, обратный к линейному ограниченному, не обязан быть линейным ограниченным оператором.
Приведём несколько теорем, дающих достаточные условия существования обратного линейного ограниченного оператора.
Терема 6. Пусть линейный непрерывный оператор А, отображающий линейное нормированное пространство X на линейное нормированное пространство Y, удовлетворяет для любого условию
(11)
где m- некоторая константа. Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор A-1.
Доказательство. Из условия (11) следует, что оператор A инъективно отображает X на Y: если и то и согласно (11) откуда Поэтому оператор А биективен, и следовательно, для него существует обратный линейный оператор A-1. Этот оператор ограничен, что следует из (11):
для любого Теорема доказана.
Нетрудно заметить, что утверждение обратимо, т.е. если существует ограниченный обратный, то неравенство (11) выполняется.
Бывают случаи, когда оператор, обратный к ограниченному линейному оператору, оказывается определённым не на всём пространстве , а лишь на некотором линейном многообразии, и неограниченным на этом многообразии. Точно так же операторы, обратные к неограниченному линейному оператору, определённому на некотором линейном многообразии, могут оказаться ограниченными линейными операторами, определёнными на всём Y. Приведём примеры, подтверждающие сказанное.
Пример 17. Пусть X = C[0, 1] и
Тогда А – ограниченный линейный оператор, но есть неограниченный оператор, определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций таких, что .
Пример 18. Пусть X = C[0, 1] и
– неограниченный оператор Штурма-Лиувилля, определённый на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что . Обратный оператор
где функция Грина, есть ограниченный линейный оператор, определенный на всём пространстве C[0, 1]
Возникает естественный вопрос: пусть линейный ограниченный оператор АL(X, Y) является биективным отображением. Тогда согласно общей теории отображений у него существует обратное отображение. Будет ли этот оператор линеен и ограничен?
Нетрудно показать, что оператор, обратный к линейному аддитивен и однороден. В самом деле, пусть . Имеем в силу аддитивности A:
Отсюда , т.е. и аддитивность оператора A-1 доказана. Аналогично устанавливается однородность оператора A-1.
Ответ на второй вопрос дает следующая теорема.
Теорема 6 (Банаха об обратном операторе). Пусть линейный непрерывный оператор А является биективным отображением банахова пространство X на банахово пространство Y. Тогда оператор А имеет линейный ограниченный обратный оператор.
Доказательство. Для доказательства достаточно установить ограниченность обратного оператора А-1. Обозначим через Tk = {yY: ||A-1y|| k||y||}. Нетрудно видеть, что любой yY попадает в некоторое Tk, Последнее означает, что Y = k Tk. В силу теоремы Бэра существует Tn, в котором содержится некий замкнутый шар S[y0, r] пространства Y: S[y0, r] Tn.
Легко также проверяется, что Tk (в том числе и Tn) является линейным многообразием. Возьмем произвольный элемент yY. Тогда элемент z = ry/||y|| + y0 S[y0, r] Tn. Так как y0 Tn, а последнее множество является линейным многообразием, то и z – y0 = ry/||y|| Tn. Последнее, опять же в силу линейности Tn, означает, что у Tn. Итак, мы установили, что произвольный элемент yY принадлежит Tn, что означает выполнение неравенства ||A-1y|| n||y|| для любого yY. Этим доказана ограниченность оператора А-1.