2. Системы множеств в евклидовом пространстве

Определение 7. Пусть заданы n пар вещественных чисел а_i и b_i, где i = 1,..., n, так, что a_i < b_i i. При этом мы допускаем, что некоторые из этих чисел могут быть несоб­ственными, т.е. возможно, что a_i = -  и b_i = + при некоторых i. Множество ₀ всех точек х = (x₁,..., x_n) _n, координаты которых удовлетворяют неравенству a_i < x_i < b_i, i = 1, …, n, называется открытым n-мерным параллелепипедом.

Ранее было показано (пример 1.5), что открытые параллелепипеды образуют базу топологии в R_n.

Определение 8. Множество * всех точек х  _n, координаты которых удовлетво­ряют неравенству а_i  x_i  b_i, i = 1,..., n, называется замкнутым n-мерным параллеле­пипедом.

Если рассматривать R_n с топологией, порожденной метрикой Евклида, то открытый параллелепипед является открытым множеством, замкнутый – замкнутым множеством (проверьте).

Определение 9. Параллелепипед  – это любое множество, удовлетворяющее условию: ₀  Δ  *. Далее мы его будем обозначать так {a₁, b₁;...; а_n, b_n}.

Определение 10. Если -  < а_i < b_i < +  при всех i, то будем говорить, что  -параллелепипед с конечными ребрами. Если же хоть одна из величин а_i и b_i является бесконечной, то будем говорить, что  имеет бесконечное ребро.

Определение 11. Будем говорить, что два параллелепипеда дизъюнктны, если у них нет общих вну­тренних точек.

Определение 12. Объемом n-мерного параллелепипеда {a₁, b₁;...; а_n, b_n} называется: V_ =

Он равен + , если у параллелепипеда есть бесконечное ребро.

Определение 13. Параллелепипед {a₁, b₁;...; а_n, b_n} называется (n-мерной) ячейкой, если он состоит из всех точек х, координаты которых удовлетворяют неравенствам а_i  x_i < b_i, где i = 1,..., n.

Пусть ₁ и ₂ – полукольца на множествах Х₁ и Х₂, соответственно. Построим систему множеств  = ₁₂, т.е. АВ  тогда и только тогда, когда А₁ и В₂.

Лемма 1. Система  является полукольцом в Х₁Х₂.

Доказательство. 1)  = .

2) Если А₁В₁, А₂В₂, то А₁В₁  А₂В₂ = (А₁А₂)(В₁В₂)  (в силу свойств полуколец ₁ и ₂).

3) Пусть А₁В₁, А₂В₂ и А₁В₁  А₂В₂, последнее влечет вложения множеств А₁  А₂ и В₁  В₂. В силу свойств полуколец ₁ и ₂ найдутся множества С_n ₁ и D_k ₂, такие, что А₂ = А₁ + и В₂ = В₁ + . В силу свойств произведения дизъюнктных множеств получаем представление А₂В₂ = А₁В₁ + + + , что эквивалентно третьему условию в определении полукольца.

Рассмотрим ячейки на числовой прямой, т.е. систему ₁ промежутков вида [a; b).

Теорема 3. Система ₁ промежутков вида [a; b) образует полукольцо пространства R₁.

Доказательство. 1) Справедливо  = [a; a).

2) Пусть [a₁; b₁), [a₂; b₂). Тогда нетрудно видеть, что пересечение этих промежутков либо пусто, либо [a₁; b₁)  [a₂; b₂) = [max{a₁, a₂}; min{b₁; b₂})(сделайте рисунок).

3) Пусть [a₁; b₁)  [a₂; b₂). Тогда нетрудно видеть, что выполняется равенство [a₂; b₂) = [a₂; a₁) + [a₁; b₁) +[b₁; b₂), что доказывает последнее свойство полукольца.

Следствие. Система всех ячеек пространства R_n образует полукольцо .

Утверждение следствия легко вытекает из теоремы и леммы 1.