3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.

Следующие теоремы составляют содержание теории Рисса – Шаудера (в упрощенном варианте), являющейся обобщением фредгольмовской теории интегральных уравнений.

Теорема 5 (первая теорема Фредгольма). Пусть А – ли­нейный вполне непрерывный оператор в банаховом простран­стве X. Следующие четыре утверждения эквивалентны:

а) уравнение (3) имеет решение при любой правой части у;

b) уравнение (4) имеет только тривиальное решение;

c) уравнение (3*) имеет решение при любой правой частит;

d) уравнение (4*) имеет только тривиальное решение.

Если выполнено одно из условий а), b), c), d), то операторы I – A и I – А* непрерывно обратимы.

Доказательство проведем по схеме а)  b)  c)  d)  а).

I. a)  b). Дано R(I – А) = Х, т. е. множество значений оператора I – А совпадает с X. Допустим, что b) не выполнено, т. е. подпространство нулей оператора I – A нетривиально:

N₁ = {x  X: x – Ax = 0}  {0}.

Пусть x₁N₁ и x₁  0. Рассмотрим уравнение (I– А)х =x₁. По условию а) оно имеет решения. Пусть х₂ – одно из них. Имеем (I – А)²х₂ = (I – A)x₁ = 0, т. e х₂  N₂ = {x  X: (I - А)²х = 0}, причем N₁  N₂ и включение строгое, так как x₂ N₂, но х₂  N₁, иначе оказалось бы, что x₁ = 0. Продолжая эти рассуждения, получим цепочку подпространств

N₁  N₂  …  N_n  N_n+1  …

строго включенных друг в друга. По лемме Рисса о почти перпендикуляре в каждом N_n найдется элемент z_n та­кой, что ||z_n||= 1 и ||x - z_n||  1/2 для всех x  N_{n – 1}, n = 2,3, ... Рассмотрим последовательность {Az_n}. Она компактна, ибо А вполне непрерывен, а {z_n} ограничена. С другой стороны, при m > n

||Az_m – Az_n|| = ||[z_n – (I – A)z_n + (I – A)z_m] – z_m||  ½,

ибо

z_n - (I- A)z_n + (I - A)z_m  N_{m - 1}

так как

(I – A)^{m - 1} [z_n - (I- A)z_n + (I - A)z_m] = (I – A)^{m - 1}z_n - (I- A)^mz_n + (I - A)^mz_m] = 0

(все слагаемые – нули, ибо (I – A)^kz_i = 0 при k i. Итак, с одной стороны, {Az_n} компактна, а с другой ||Az_m – Az_n|| > 1/2. Полученное противоречие показывает, что допущение N(I - А){0} неверно. I доказано.

II. b)  c) Дано N(I - А) = {0}. Нужно доказать, что R(I– А*) = Х*. Возьмем любой f  Х* и рассмотрим выражение f((I – А)х). Оно определяет линейный ограниченный функционал  X*. Действительно, это выражение определено на X, линейно по х и ограничено. Наконец, самое важное, оно однозначно по х: если f((I - А)х) = f((I - A)х"), то f((I – А) (х' – х")) = 0, откуда, вследствие произвольности f, (I - A) (х' – х") = 0, но N(I - A) = {0}, и, значит, х' = х". Таким образом, f((I - А)х) = (х), т. е. всякий f  X* при­надлежит также и R((I – А*)), т. е. c) доказано.

III. c)  d). Эта часть доказательства совпадает с I. Нужно лишь в I A заменить на А*.

IV. d)  а). Дано N((I – А)*) = {0}. Надо доказать, что R(I – А) = Х. Допустим противное, что R(I – A)  Х. По только, что доказанной теореме R(I – А) – подпространство в X. Пусть у₀  Х и у₀  R(I - А). По следствию из теоремы Хана–Банаха най­дется f₀  X* такой, что f₀₍у₀) = 1, и f₀(у) = 0 для всех y R(I – А). Но тогда f₀((I - А)х) = 0 для всех х Х, или х, (I - А)*f₀ = 0 и из произвольности х имеем (I - A)*f₀ = 0, т.е. f₀N((I - A)*) и f₀  0. Полученное противоречие пока­зывает, что верно а).

V. Если выполнено одно из условий а), b), c). d), то по I–IV выполнены и все остальные, но тогда_; N((I - A)) = {0}, т.е. I - A обратим; R(I - A) = X, и, значит, по теореме Банаха об обратном операторе I - A непрерывно обратим. То же для А*. Теорема полностью доказана.

Теорема 6 (вторая теорема Фредгольма). Пусть А – ли­нейный вполне непрерывный оператор в X. Тогда уравнения (4) и (4*) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.

Доказательство. Мы уже видели, что если N(I - A) = {0}, то и N((I - А)*) = {0}, и наоборот (1 теорема Фредгольма). Пусть теперь эти подпространства не нулевые. Докажем сна­чала их конечномерность. Пусть М – произвольное ограничен­ное множество, лежащее в N(I – A); тогда М = AM. Отсюда М компактно. Получилось, что в N(I - A) каждое ограниченное множество компактно. По теореме Рисса о локальной компактности N(I – A) конечномерно. Аналогично, дело обстоит N((I – A)*).

Перейдем к доказательству равенства dimN(I - A) = dim(I - А)* размерностей подпространств нулей операторов (I – A) и (I – A)*. Допустим противное, что, например,

dim N (I - А) = n < m = dim N((I - A)*).

Пусть {_i}₁ⁿ базис в N(I – А). По следствию из теоремы Хана – Банаха существует система функционалов {g_i}₁ⁿ  X*: g_i(_j) = _ij (биортогональная система) i, j = 1, ..., n. Пусть, далее, {_i}₁ⁿ – базис в N((I – А)*), а {z_i}₁ⁿ  X – биортогональная к нему система элементов: _i(z_j) = _ij, i, j = 1, 2, ..., n. Рассмотрим оператор I – В, где

(5)

Оператор В вполне непрерывен, как сумма двух вполне непре­рывных операторов – оператора А и конечномерного оператора.

Далее, докажем, что N(I - В) = {0}. Действительно, уравнение х – Вх = 0 записывается согласно (5) так:

(6)

Применяя к обеим его частям функционал _k, получим

(6)

Мы воспользовались тем, что _k N((I – А)*), и биортогональ­ностью систем {_i} и {z_i}. Так как k произвольно, то все g_k(х) = 0 и (5) принимает вид х – Ах = 0. Это означает, что xN(I - A), т. е.

(7)

Применим к обеим частям этого равенства функционал g_i и, пользуясь биортогональностью систем {_i}, {g_i} и тем, что g_i(x) = 0, получим _i = 0. Так как i произвольно, то х = 0. Итак, N(I - В) = {0}.

Нетрудно убедиться (проверьте!), что

.

Тогда (I – В)*_s = (I – A*)_s - = 0 при s > n, ибо _s  N((I - В)*), и z_i, _s = 0, при n < s. Оказалось, что N((I – В)*)  {0}, а это противоречит теореме 2. Следователь­но, предположение п < m неверно. Аналогичное доказательство проводится в случае п > m с заменой A на A*. Теорема дока­зана.

Теорема 7 (третья теорема Фредгольма). Пусть А – ли­нейный вполне непрерывный оператор в X. Для того, чтобы уравнение (3) имело хоть одно решение, необходимо и доста­точно, чтобы для любого решения  уравнения (4*) выполня­лось условие у,  = 0.

Доказательство. Если N(I - A) = {0}, то N((I - A)*) = {0} и утверждение теоремы тривиально. Пусть N(I - A)  {0}. Если уравнение (3) имеет решение х₀, то для всякого N((I - А)*) имеем

у,  = (I - А) х₀,  = х₀, (I – A)* = 0.

Обратно, пусть у,  = 0 для всех N((I - А)*). Допу­стим, что (3) при данном у решений не имеет, т. е. уR(I - А). Заметим, что R(A) замкнуто по теореме о замкнутости области значений непрерывного оператора. По следствию из теоремы Хана – Банаха существует f X* такой, что f(y) = 1 и f((I - А)х) = 0 для любых хХ, но тогда x, (I - A)*f = 0 и, вследствие произвольности х, (I - A)*f = 0, т. е. fN((I - A)*). Но тогда по условию теоремы f(у) = 0  1. Получен­ное противоречие означает, что уравнение (3) разрешимо. Тео­рема доказана.

В заключение кратко резюмируем полученные результаты. Для уравнения (3) с вполне непрерывным оператором A воз­можны только три следующие ситуации:

1) оператор I – А непрерывно обратим, тогда (3) имеет при любой правой части у единственное решение х = (I – А)^-1у;

2) N(I – А)  {0}; если у,   0 хоть для одного решения  сопряженного однородного уравнения (4*), то (3) решений не имеет;

3) N(I – А)  {0}; если у,  = 0 для всех решений  урав­нения (4*), то общее решение уравнения (3) имеет вид х = х_о - , где x₀ – частное решение (3), {_i} – базис под­пространства решений уравнения (4), а n –размерность этого подпространства.

4. Резольвента и спектр оператора. Линейная независимость собственных векторов. Спектр вполне непрерывного оператора (конечномерность собственного подпространства, конечное число собственных значений вне круга)

Часто вместо уравнений (3) приходится рассматривать уравнения

(8)

где , х – искомый, у – известный элемент, а  – некоторый числовой параметр. Уравнение (8) можно также записать в виде

(8*)

Одновременно с уравнением (8) целесообразно рассматривать уравнение

(9)

которое, называют однородным уравнением, соответствующим уравнению (8). Уравнение же (8) называют тогда неоднород­ным. Ясно, что однородное уравнение всегда имеет нулевое решение x = 0.

Пусть оператор для данного значения пара­метра имеет обратный оператор этот оператор называют разрешающим оператором или резольвентой для уравнения (8) или оператора А и обо­значают . Тогда уравнение (8) при любом имеет решение и притом только одно. Однородное уравнение (9) имеет в этом случае лишь нулевое решение. Такие значения параметра  называются регулярными значениями оператора А или уравнения (8). Множество значений параметра , не являющиеся регулярными, называются спектром оператора А. Может случиться, что однородное уравнение (9), кроме нулевого, имеет еще одно или несколько ре­шений, отличных от нуля. Такие значения параметра, при которых это происходит, называются характеристическими числами или собственными значе­ниями оператора А. Так как в этом случае решение урав­нения (9), являющегося частным случаем уравнения (8), не однозначно, то собственные значения принадлежат спектру. Однако могут существовать точки спектра, не являющиеся собственными значениями.

В 7 главе (теорема 7) рассматривался вопрос обратимости оператора . В этом случае обратный оператор не является, строго говоря, резольвентой оператора А. Однако с помощью этого оператора резольвенту можно по­лучить без труда. В самом деле, преобразуем оператор следующим образом:

где Если теперь то и поэтому существует . Но тогда т.е. Таким образом, резольвента представима в виде сходящегося в области ряда

=

Пример 1. Рассмотрим в пространстве С [0, 1] опе­ратор умножения на независимое переменное Уравнение (8) принимает в этом случае

(10)

и решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая. Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение (10) имеет при любом у (t) единственное непрерывное решение

откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на

Все значения параметра, принадлежащие отрезку [0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть . Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке Для такой функции равенство не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции х (t), ибо в точке левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при уравнение (10) не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность спектру оператора А, Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

Пример 2. Положим Х = Y = R_n и пусть оператор А задается квадратной матрицей Уравнение (4) примет для вид

(11)

Это есть система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Если определитель системы

отличен от нуля, т. е. если не есть корень уравнения , то система уравнений (11) имеет при любых правых частях единственное решение, и следовательно, все такие значения параметра  регулярны. Корни уравнения D() = 0 образуют спектр, так как при таких  система (11) в общем случае не­разрешима. Однако при этих значениях параметра однород­ная система

имеет нетривиальное решение (т. е. отличное от нулевого), и, следовательно, любая точка спектра есть собственное зна­чение.

В приведённых примерах спектр оператора либо не со­держал, ни одного собственного значения, либо состоял только, из собственных значений. Имеются примеры, где спектр оператора содержит как собственные значения, так и точки, не являющиеся собственными значёниями.

Лемма 5. Собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Действительно, пусть имеют место равенства

и .

Умножим первое равенство скалярно на , второе на и вычитая второе из первого, получим

Левая часть равенства равна нулю вследствие симметрии оператора А. Так как , то Лемма 5 доказана.

Лемма 6. У вполне непрерывного оператора А всякая ортогональная нормированная система собственных векторов с собственными значениями, превосходящими по модулю положительное значение , конечна.

Доказательство. Допустим, что нашлась бесконечная система таких собственных векторов. Каждый из них оператором переводится в себя самого с числовым множителем, по модулю большим числа . Пусть и - какие-то два из этих собственных векторов:

Имеем

Это означает, что расстояние между векторами, полученными после воздействия оператора на вектора системы , заведомо будут превосходить Но из совокупности таких векторов нельзя выбрать никакой сходящейся последовательности, что противоречит полной непрерывности оператора . Лемма 6 доказана.

Следствие. Существует только конечное число взаимно ортогональных векторов с данным собственным значением иными словами, каждое собственное подпространство, отвечающее ненулевому собственному значению( т.е. совокупность всех собственных векторов оператора А с фиксированным собственным значением . Это множество очевидно, есть (замкнутое) подпространство в Н) вполне непрерывного симметричного оператора конечномерно.

5. Существование собственного значения у вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве. Наибольшее и наименьшее собственные значения. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении по собственным векторам

Мы переходим теперь к фундаментальной теореме о симметричных вполне непрерывных операторах.

Теорема 8. (Гильберта-Шмидта). В гильбертовом сепарабельном пространстве всякий симметричный вполне непрерывный оператор обладает полной ортогональной системой собственных векторов.

Доказательство этой теоремы проведём в несколько этапов.

Лемма 7. Если и А – симметричный оператор, то

причем знак равенства возможен только в случае, когда е есть собственный вектор оператора с собственным значением

Доказательство. В силу симметрии оператора и неравенства Коши – Буняковского имеем:

(12)

Неравенство Коши – Буняковского обращается в равенство, лишь когда фигурирующие в нём векторы коллинеарные, поэтому в случае равенства имеем т.е. есть собственный вектор оператора А². Подставляя полученное выражение в (12), находим :

Лемма доказана.

Назовем максимальным вектором ограниченного оператора А такой единичный вектор на котором величина достигает своего наибольшего значения Вообще говоря, не у всякого ограниченного оператора существует максимальный вектор.

Лемма 8. Симметричный вполне непрерывный оператор обладает максимальным вектором.

Доказательство. Выберем последовательность , где так, чтобы иметь Из последовательности можно выделить в силу полной непрерывности А, сходящуюся подпоследовательность, удалив лишние векторы и исправив нумерацию, можно считать, что сама последовательность сходится при ; пусть В силу непрерывности нормы Покажем, что вектор является исходным максимальным вектором. Прежде всего, в силу непрерывности оператора А имеем:

Векторы принадлежат единичному шару, и поэтому векторы по длине не превосходят . Применяя лемму 7, получаем:

.

Откуда вытекает, что

т.е. есть максимальный вектор оператора А. Лемма доказана.

Лемма 9. Если есть максимальный вектор для симметричного оператора , то является собственным вектором для оператора с собственным значением

Доказательство. По лемме 7 и по определению нормы оператора имеем:

откуда следует, что

В силу леммы 7 вектор есть собственный вектор оператора с собственным значением Лемма доказана.

Лемма 10. Если оператор обладает собственным вектором с собственным значением , то оператор А имеет собственный вектор с собственным значением или

Доказательство. Равенство можно записать в виде

Допустим, что . Тогда из условия или, что тоже, вытекает, что есть собственный вектор оператора с собственным значением Если же , то и тогда вектор есть собственный вектор оператора А собственным значением Лемма доказана.

Леммы 7-10 показывают, что всякий симметричный вполне непрерывный оператор А обладает собственным вектором с собственным значением Покажем теперь, что из собственных векторов оператора А можно построить ортогональную систему в пространстве Н.

Лемма 6 позволяет сделать определённые выводы относительно совокупности всех собственных векторов и собственных значений оператора А. Рассмотрим на вещественной оси множество всех собственных значений оператора А. В силу леммы 6, существует лишь конечное число собственных значений, превосходящих по абсолютной величине данное положительное число , поэтому, если собственных значений бесконечное (очевидно, счётное) множество, то они образуют последовательность, сходящуюся к нулю. Следовательно, мы можем занумеровать натуральными числами все собственные значения в порядке убывания абсолютной величины. Условимся, что при этом мы будем каждое собственное значение снабжать столькими последовательными номерами, какова размерность соответствующего собственного подпространства (эта размерность называется кратностью этого собственного значения). В таком случае последовательность ненулевых собственных значений оператора А

мы можем сопоставить последовательность собственных векторов причём Можно считать, что векторы взаимно ортогональны и нормированы. В самом деле, если то ортогональность выполняется в силу леммы 5; если же то в пределах конечного собственного подпространства, отвечающего собственному значению мы всегда можем провести ортогонализацию. Нормировка всех полученных векторов завершает построение.

Покажем теперь, что каждый вектор , ортогональный всем построенным векторам переводится оператором А в нуль.

Лемма 11. Пусть – подпространство в гильбертовом пространстве Н, инвариантное относительно симметричного оператора А (т.е. каждый вектор подпространства переводится оператором А в вектор этого же пространства). Тогда ортогональное дополнение подпространства также инвариантно относительно оператора А.

Доказательство. Пусть – любой вектор из подпространства , – любой вектор из подпространства . По условию Тогда в силу симметрии оператора А следует, что Это означает, что вектор ортогонален любому вектору и, следовательно, Лемма доказана.

Теперь рассмотрим совокупность Р всех векторов ортогональных всем построенным векторам Это совокупность Р является замкнутым подпространством как ортогональное дополнение к подпространству L, порождённому ортогональной системой Поскольку L, очевидно, инвариантно относительно оператора А, то его ортогональное дополнение P (по лемме 11) также инвариантно относительно оператора A. Обозначим через M(P) точную верхнюю границу значений на единичной сфере подпространства P. В силу лемм 9 и 10, в подпространстве Р имеется собственный вектор с собственным значением Но по самому построению подпространства Р оно не может содержать ни одного собственного вектора с ненулевым собственным значением. Отсюда ; но это означает, что для любого вектора что и требовалось доказать.

Каждый вектор может быть представлен в виде суммы

Вектор у можно далее разложить в ряд Фурье по системе полной в пространстве L; вектор z, по доказанному, оператором A переводится в нулевой вектор. Мы получили следующую основную теорему:

Терема 9. В гильбертовом пространстве , в котором задан симметричный вполне непрерывный оператор A, каждый вектор может быть представлен в виде ортогональной суммы где (конечная или бесконечная) система собственных векторов оператора с ненулевыми собственными значениями и

Из этой теоремы вытекает и теорема Гильберта. Действительно, в сепарабельном гильбертовом пространстве H подпространство P также сепарабельно и в нём можно выбрать полную ортогональную систему вместе с уже построенными векторами получается полная ортогональная система в всём пространстве H. Каждый из векторов этой системы является собственным вектором оператора A: векторы с собственными а векторы с собственным значением 0. Тем самым теорема Гильберта доказана.

Из теоремы Гильберта следует, что т.е. любой вектор , где , допускает разложение по собственным векторам оператора с ненулевыми собственными значениями.

Задачи

1. Доказать следующие утверждения:

А) любой линейный оператор A: RⁿR^m вполне непрерывен;

Б) любой линейный оператор A: E₁E₂ вполне непрерывен, если E₁ – конечномерное пространство;

В) любой ограниченный линейный оператор A: E₁E₂ вполне непрерывен, если E₂ – конечномерное пространство;

Г) линейный ограниченный оператор, образ которого лежит в конечномерном пространстве, вполне непрерывен.

2. Являются ли вполне непрерывными следующие операторы в пространстве C[0, 1]? В пространстве L²[0, 1]?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. Ax(t)=x(t²).

3. Имеет ли оператор собственные значения в пространстве ?

4. Показать, что для уравнения , где – оператор Вольтерра, а непрерывно для , все значения параметра регулярны.

Показать, что если значение параметра  является регулярным для оператора, то оно будет регулярным и для оператора А + В, когда достаточно мала.

5. Показать, что всякий вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н есть предел операторов, отображающих все пространство на конечномерное подпространство.

Указание: можно считать, что . Если , то положим .

6. Показать, что оператор А в сепарабельном гильбертовом пространстве, заданный в ортонормальном базисе матрицей по формулам вполне непрерывен, если

Указание: смотри задачу 5.

7. Положим для , , . Какие из этих операторов вполне непрерывны?

8. Для , положим , показать, что А – вполне непрерывный оператор.

9. Каковы собственные функции интегрального оператора Фредгольма с ядром в промежутках а) , б) ?

10. Решить уравнение .

11. В пространстве C[0, 1] рассмотрим оператор

.

Найти спектр и резольвенту оператора А.

12. В вещественном линейном пространстве C[-, ] найти собственные значения и собственные вектора операторов

а) (Ax)(t) = x(-t);

b) .

Имеют ли в этом пространстве данные операторы непрерывный спектр? Построить резольвенты на множестве регулярных значений каждого оператора.

13. В комплексном пространстве C[0, 1] рассмотрим оператор (Ах)(t) = x(0) + tx(1). Найти точечный и непрерывный спектры оператора А и построить резольвенту на множестве регулярных значений.

14. В пространстве C[0, 2] рассмотрим оператор (Ах)(t) = e^ittx(t). Доказать, что спектр оператора А есть множество { C: || = 1}, причем ни одна точка спектра не является собственным числом.

15. Найти спектр и резольвенту оператора А в пространстве L₂[-1, 1]

.

16. Какой должна быть функция С[a, b], чтобы оператор умножения А: С[a, b]  С[a, b], определенный с помощью равенства (Ах)(t) = (t)x(t) был вполне непрерывным.

17. Найти спектр и собственные значения оператора умножения на фиксированную непрерывную функцию в пространстве C[a, b].

18. Найти спектр оператора А в пространстве L₂(R):

.

19. Пусть число p > 1 и q – ему сопряженное, т.е. 1/p + 1/q = 1. Рассмотрим оператор А: l_p  l_q, который определяется формулой

,

где числовая матрица такая, что двойной ряд сходится. Доказать, что оператор А вполне непрерывен.

20. Рассмотрим оператор А: l_p  l_q, который определяется формулой

Ах = (₁х₁, ₂х₂, …), х = (х₁, х₂, …)

где _k – заданная последовательность чисел, k =1, 2, … Какова должна быть последовательность этих чисел, чтобы оператор А был вполне непрерывен.

21. Пусть в гильбертовом пространстве Н задан линейный ограниченный оператор А такой, что А*А является вполне непрерывным оператором в Н. Доказать, что оператор А вполне непрерывен?