5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина

Определение 6. Последовательность функций { f_n(x)} на множестве Е сходится почти равномерно к функ­ции f(x), если для любого  > 0 найдется такое множество А_  меры (А_) < , что последовательность сходится равномерно к функции f(x) на множестве Е\А_.

Из почти равномерной сходимости следует сходимость почти всюду. В самом деле, возьмем в этом определении величину  = 1/n и соответствующие множества А_ =А_п меры (А_n) < 1/п. Тогда, полагая А = , мы полу­чим (A) = 0, при этом предел последовательности су­ществует и равен f(x) = limf_n(x) при всех х  Е\А.

Теорема Егорова утверждает, что на множествах ко­нечной меры почти равномерная сходимость равносильна сходимости почти всюду.

Теорема 9 (теорема Егорова). Если (Х) <  и по­следовательность функций f_n(x)  f(x) почти всюду на X, то f_n(x) сходится к f(x) почти равномерно на Х.

Доказательство. Из критерия сходимости почти всюду (теорема 3) следует, что для каждого т найдется такое п_m , что

.

Положим . Тогда .

Если теперь задано некоторое  > 0, то, выбирая натураль­ное т так, чтобы . получим, что при k > п_т справедливо неравенство: |f_k(x) – f(x)|  1/m <  для любого x Е_, а это и требовалось установить.

Пример 1 последовательности функций показывает, что без условия конечности меры тео­рема Егорова, вообще говоря, неверна.

Следующая теорема Лузина устанавливает связь меж­ду свойствами измеримости и непрерывности функций. Рассмотрим измеримое пространство (R, , ) меры Лебега на прямой R.

Определение 7. Говорят, что функция f: Е  R обладает С-свойством на множестве Е  R, если для любого  > 0 найдется такое измеримое множество А_  с мерой (A_) < , что на его дополнении Е \А_ функция f непрерывна.

Теорема 10 (Лузина). Предположим, что функция f определена на измеримом множестве Е  R. Тогда функция f измерима в том и только в том случае, когда она обладает С-свойством на множестве Е.

Необходимость. Обозначим через {I_k} систему всех интервалов на прямой R с рациональными концами. Эта система счетна, так что индекс k  N.

В силу свойства измеримости множества f ^-1(I_k)  R для любого  > 0 существуют такое открытое G_k, и такое замкнутое F_k множества на прямой R, что выполняются следующие условия:

F_k  f ^-1(I_k)  G_k, (G_k – F_k) < /2^k.

Тогда измеримое множество А_ = имеет меру (А_) < . Так как каждое из множеств (G_k – F_k) является открытым, как разность открытого и содержащегося в нем замкнутого множества, то множество А_ открыто. Так как справедливо равенство (докажите)

f ^-1(I_k) - А_ = G_k(E - А_),

то множество f ^-1(I_k) - А_ является открытым в E - А_ в индуцированной топологии. Поскольку любой интервал I  R является объединением интервалов с рациональными концами, то его прообраз f ^-1(I) также открытый в E - А_. Следовательно, наша функция f непрерывна на множестве E - А_.

Достаточность. Если функция обладает С-свойством на множестве Е, то для каждого k N найдется такое измеримое множество А_k меры (А_k) < 1/k, что на его дополнении Е\А_k функция будет непрерывной. Ясно, что множество А = - имеет меру нуль.

По условию непрерывности на E\A_k для любого ин­тервала I  R множество f ^-1(I) – А_k является открытым в Е\А_k. Поэтому найдется такое открытое множество G_k, что f ^-1(I) – А_k = G_k(E – А_k). Отсюда множество

f ^-1(I) – А =

будет открытым и следовательно измеримым. Поэтому прообраз f ^-1(I) измерим, а значит и функция f измерима на множестве Е.

Задачи

1. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множества А и А₁ из , причем А₁  А, а функция f (x) измерима на А. Доказать, что f (x) измерима на А₁.

2. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множества А_i из , а функция f (x) измерима на А_i при всех i. Доказать, что f (x) измерима на множестве .

3. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множество А из , - некоторое всюду плотное множество в R, а функция f : А  R{–}{+} такова, что для каждого n множества . Доказать, что функция f (x) измерима на А.

4. Пусть n  1 и G  R_n – открытое множество. Пусть также функция f (x) непрерывна на G. Доказать, что f (x) измерима на G относительно классической меры Лебега.

5. Построить функцию f (x) на [0, 1], измеримую на [0, 1] относительно меры Лебега, но разрывную в каждой точке.

6. Пусть (X, , ) измеримое пространство с полной мерой , А, а функция f (x) измерима на А. Пусть g(x) – функция эквивалентная f (x) на А. Доказать, что g(x) – измеримая функция на А.

7. Пусть (X, , ) измеримое пространство, А, а функция f ³(x) измерима на А. Доказать, что f (x) также измерима на А.

8. Построить такую функцию f (x) на [0, 1], что f ²(x) измерима относительно меры Лебега на [0, 1], но f (x) неизмерима относительно этой меры.

9. Построить непрерывную неубывающую функцию (х) на [0, 1], не являющуюся на этом отрезке постоянной, для которой (х) = 0 почти всюду на [0, 1].

10. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множество А из , и – последовательность функций, измеримых на А. Доказать, что множество В = {x A: существует } измеримо, и что функция измерима на В.

11. Пусть (X, , ) – измеримое пространство, множество А из , и - последовательность функций, измеримых на А. Доказать, что множество С = {x A: существует конечный } измеримо, и что функция измерима на С.

12. Пусть (a, b)  R и f (x)  С(a, b). Доказать, что множество А = {x (a, b): существует конечная f (x)} измеримо относительно меры Лебега на (a, b) и что f (x) измерима на А.

13. Пусть (А) <  и f_n(x)  f (x) и g_n(x)  g (x) при n   на А, причем f (x)  0 на А и f_n(x)  0 на А при каждом n. Доказать, что при n   на А.

14. Построить функции и функцию f (x), конечные и измеримые относительно меры Лебега на R, для которых f_n(x)  f (x) при n   на R, но f_n²(x) не сходится по мере к f ²(x) при n   на R.

15. Построить функции и функцию f (x), конечные и измеримые относительно меры Лебега на (0, ), для которых f_n(x)  f (x) при n   на (0, ), но не сходится по мере к при n   на (0, ).

16. Пусть последовательность сходится по мере на множестве А. Доказать, что она фундаментальна по мере, т.е. для любых  > 0 и  > 0 существует такое N, что при n, m  N выполнено неравенство

.

17. Пусть последовательность фундаментальна по мере на множестве А. Доказать, что существует такая конечная измеримая функция f (x) на А, что f_n(x)  f (x) при n   на А.

18. Доказать, что последовательность не сходится по мере на [0, ].

19. Доказать, что последовательность , где f_n(x) = xⁿ, сходится по мере на [0, 1], но не сходится по мере на [0, 2].

20. Доказать, что если f (x) имеет производную f (x) во всех точках отрезка [a, b], то эта производная является измеримой функцией на отрезке [a, b].

21. Пусть последовательность сходится по мере на Е к функции f (x). Доказать, что если для всех n имеет место неравенство f_n(x)  a почти всюду на Е, то f (x)  a почти всюду на Е.

22. Пусть  – характеристическая функция множества рациональных чисел. Доказать, что функция f  измерима на R независимо от того, какова функция f .

23. Пусть f – измеримая на Е функция и Е₁ – произвольное измеримое множество на числовой прямой. Обязано ли множество f ^-1(E₁) быть измеримым?

24. Пусть f – непрерывная на R функция. Показать, что ее график имеет на плоскости нулевую меру.

25. Пусть f – монотонная на R функция. Показать, что ее график имеет на плоскости нулевую меру.

26. Пусть множество Е  [a, b] измеримо. Доказать, что функция f (x) = (E[x, b]) монотонна и непрерывна на [a, b].