3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.

Определение 2. Линейное пространство Н называется предгильбертовым пространством, если указано правило, которое позволяет сопоставить каждой паре элементов x и y пространства Н вещественное (или комплексное) число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначенное , удовлетворяющее следующим условиям:

а) (в случае комплексного значения )

б)

в) для любого вещественного числа ;

г) при и при ;

Число назовём нормой элемента х. Ниже мы покажем, что эта величина удовлетворяет всем требованиям нормы. В случае, если Н полное пространство по этой норме, его называют гильбертовым. Таким образом, гильбертово пространство есть частный случай банахова пространства. Далее,если не оговорено противное, мы будем рассматривать гильбертовы пространства над полем вещественных чисел.

Пример 9. Пространство l₂ становится гильбертовым, если для любых двух его элементов и положить

Сходимость этого ряда для любых x и y из l₂ вытекает из неравенства Буняковского для рядов.

Пример 10. Пространство . Это пространство (вещественных) функций, определённых и измеренных на отрезке [a, b] и таких, что

,

где почти всюду на [a, b]. будет гильбертовым пространством, если положить для

Существование этого интеграла при любом и из вытекает из неравенства Гельдера для интегралов.

Рассмотрим простейшие свойства гильбертовых пространств.

1. Из аксиом б) и в) легко получается общая формула

справедливая для произвольных векторов и произвольных вещественных чисел

Установим теперь для скалярного произведения неравенство Коши - Буняковского. Для любых и любого R, имеем или Рассматривая это выражение как квадратный трехчлен относительно , получаем, что условием его неотрицательности является неположительность его дискриминанта, т.е.(х, у)² – (у, у)(х, х)  0 или |(x, y)|  – это и есть неравенство Коши – Буняковского.

Теорема 6. Величина является нормой в пространстве со скалярным произведением.

Доказательство. 1. Неотрицательность следует из неотрицательности скалярного произведения.

2.

3. . По неравенству Коши-Буняковского,

.

Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим неравенство .

Легко доказывается непрерывность скалярного произведения.

Теорема 7. Скалярное произведение есть непрерывная функция относительно сходимости по норме.

Доказательство. Пусть и . Тогда числа и ограничены; пусть М – их верхняя граница.

Имеем

Так как и при ,то и при , что и требовалось доказать.

Наличие скалярного произведения позволяет ввести в гильбертовом пространстве понятие длины (нормы) вектора и угла между векторами по формулам

Из неравенства Коши – Буняковского следует корректность этих формул. Эти определения согласуются с обычными формулами аналитической геометрии.

Два вектора х и y Н называются ортогональными (в этом случае записывают ), если . Если и , то это определение, в соответствии с общим определением угла между векторами, означает, что x и y образуют угол в . Нулевой вектор оказывается ортогональным любому вектору х Н.

В пространстве условие ортогональности векторов и имеет вид

.

Легко проверить, вычислив соответствующие интегралы, что в пространстве любые два вектора тригонометрической системы

взаимно ортогональны.

Отметим несколько простых свойств, связанных с понятием ортогональности.

1) Если вектор х ортогонален векторам то он ортогонален и любой линейной комбинации этих векторов.

2) Если векторы ортогональны вектору х и , то вектор у также ортогонален вектору х.

Действительно, в силу непрерывности скалярного произведения , что и требовалось доказать.

Из свойств 1) и 2) следует, что совокупность всех векторов ортогональных вектору х (или произвольному фиксированному множеству Х векторов в Н), образует замкнутое подпространство – ортогональное дополнение к вектору х (к множеству Х).

Система векторов пространства Н называется ортонормальной системой, если

.

Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы линейно независима.

Любую систему линейно независимых элементов можно превратить в ортонормальную с помощью следующего процесса ортогонализации Шмидта.

Полагаем . Пусть . Подберем число так, чтобы было ортогональным . Имеем . Отсюда следует, что для этого следует взять . Полагаем ; при этом , так как в противном случае и вектора и будут линейно зависимы, что противоречит условию. Пусть уже построены. Возьмем

и подберем числа так, чтобы было ортогонально ; для этого следует взять . Полагаем , причем снова и т.д.

Пример 11. Если совокупность степеней ортогонализовать в пространстве то мы придём к системе многочленов называемых многочленами Лежандра. Можно показать, что n-ый многочлен Лежандра имеет вид .

Пример 12. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений в пространстве , называются функциями Эрмита. Можно показать, что n-ая функция Эрмита имеет вид .

Пример 13. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений в пространстве называется функциями Лагерра. Можно показать, что n-ая функция Лагерра имеет вид .

Теорема 8. (равенство параллелограмма) В пространстве со скалярным произведением выполняется следующее тождество:

||x + y||² + ||x  y||² = 2||x||² + 2||y||².

Доказательство. В пространстве со скалярным произведением выполняются равенства

||x + y||² = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = ||x||² + 2(x, y) + ||y||²,

||x  y||² = (x  y, x  y) = (x, x)  2(x, y) + (y, y) = ||x||²  2(x, y) + ||y||².

Складывая, получим нужное тождество.