3. Функция множеств

Определение 14. Вещественнозначная функция, областью определения которой является некоторая система множеств , называется функцией множества.

Определение 15. Функция f называется счетно-аддитивной, если для любой не более чем счетной совокупности дизъюнктных множеств A_n  , объединение которых А = A_n тоже принадлежит , имеет место равенство

Определение 16. Если равенство ограничено случаем, когда А есть объединение конеч­ного числа дизъюнктных множеств А_n (А, А_n  ), то функция f называется конечно-аддитивной или просто аддитивной.

Так как функции могут принимать бесконечные значения необходимо договориться об арифметических операциях над символами бесконечность. В основном эти правила аналогичные тем, которые применялись в математическом анализе. Например:   а = ;  +  =  и т.п. Но есть определенные отличия. Так мы полагаем, что 0 = 0 и  -  = - - (-) = 0. В математическом анализе последние два действия полагались неопределенностью.

Лемма 2. Если функция множеств f является аддитивной, принимает конечные значения на множествах А, В, В\А  и А  В, то f(B\A) = f(B) – f(A).

Утверждение легко вытекает из дизъюнктного представления В = А + В\А.

Следствие. Если функция множеств f является аддитивной, неотрицательной, принимает конечные значения на множествах А, В, В\А  и А  В, то f(B)  f(A).

Теорема 4. Для того, чтобы аддитивная функция f, принимающая конечные значения и задан­ная на кольце , была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы для любой убывающей после­довательности множеств А_i   (i = 1,2,...), т.е. таких что А₁  А₂  А₃  …, с пустым пересечением выполнялось f(A_i)  0 при i .

Необходимость. Пусть А_i убывающая последовательность множеств, т.е., при этом = . Построим систему непересекающихся множеств B_i = A_i\A_i+1. Тогда нетрудно видеть, что А₁ = . В силу счетной аддитивности функции множеств f(A₁) = . Последнее равенство означает, что при n  . Но . Последнее равенство в сочетание с поведением частичных сумм доказывает утверждение.

Достаточность. Пусть дизъюнктные множества A_n  , объединение которых А = A_k тоже принадлежит . Построим последовательность убывающих множеств В_n = A\ . В силу леммы, аддитивности функции множества и условий теоремы f(B_n) = f(A) – f( ) = f(A) -  0. Последнее доказывает счетную аддитивность функции множеств.

Следующая теорема доказывается аналогично.

Теорема 5. Пусть f - счетно-аддитивная функция, заданная на кольце . Если А  и А = А_i, где A_i  и образуют возрастающую последовательность, т.е. А₁  А₂ …, то

f(A) = f(A_i).

То же равенство справедливо, если А = А_i (А, А_i  ), А_i образуют убывающую последовательность и f(A_i) конечные числа, начиная с некоторого i.

4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве

Определение 17. Пусть X - любое множество. Мерой в X называется вещественнозначная неотрицательная счетно-аддитивная функция m, заданная на некотором полукольце  подмножеств множества X.

Определение 18. Мера m называется конечной, если m(А) < +  для  А  .

Определение 19. Мера m называется -конечной, если  А    такие А_n   (n = 1, 2,...), что А  и мера m(А_n) < +  для  n.

Определение 20. Пусть m – произвольная мера в X, заданная на каком-то полукольце . Она называется полной, если из того, что А  , m(А) = 0 и Е  А вытекает, что Е  .

Лемма 3. Если  - полукольцо, A_n , A = , то = , где С_k  , при этом для каждого k существует n(k) такое, что С_k  A_n(k).

Доказательство. Очевидно, что

А = А₁[(А\А₁)A₂][(A\A₁)(A\A₂)A₃]…[ (A\A_k)A_n+1]… (1)

Заметим, сразу, что все множества, стоящие в квадратных скобках дизъюнктны между собой по построению. По условиям полукольца А\А_k = , где С_ki  . Следовательно

(A\A_k)A_n+1 = A_n+1 =

= A_n+1 = A_n+1 =

= .

Стоящие в последних скобках множества по определению полукольца принадлежат ему и все между собой дизъюнктны. Подставив полученное равенство в (1) получим доказываемое.

Теорема 6. Пусть X – любое множество с полукольцом  и неотрицательной конечно-аддитивной функцией множеств m на этом полукольце. Справедливы следующие свойства:

1. m() = 0;

2. Если А, В   и А  В, то m(A)  m(B) (монотонность меры);

Если m является мерой (т.е. обладает еще свойством счетной аддитивности), то

3. Если А, A_n  и А  , то m(A)  (полуаддитивность меры)

Доказательство. 1) Легко вытекает из свойства аддитивности и неотрицательности, так как m() = m() = m() + m() = 2m().

2) В силу свойств полукольца найдется конечный набор множеств С_k  таких, что В = А + С_k.Тогда из аддитивности m вытекает m(B) = m(A) + m(С_k), откуда и неотрицательности m уже легко следует нужное неравенство.

3) Из условий теоремы получаем представление А = , где В_n = AA_n. Воспользуемся теперь леммой: А = , где С_k. Отметим, что в силу леммы

,

при этом одно и тоже С_k может полностью попасть в разные А_n (но, что очень важно в силу леммы, хотя бы в одно из них обязательно попадает полностью). Отсюда уже легко следует, что

m(А) = .

Теорема 7. Функция V, заданная на полукольце  ячеек в R_n и равная для каждой ячейки ее объему – -конечная мера в R_n.

Доказательство. Практически в доказательстве нуждается только счетная аддитивность введенной функции, так как конечная аддитивность очевидна. Пусть {a₁, b₁;...; а_n, b_n} = {c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)}. Далее предполагаем, что все ячейки, входящие в сумму имеют конечные ребра, в противном случае равенство очевидно. Ясно, что {c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)}   {a₁, b₁;...; а_n, b_n} для любого m. В силу монотонности и аддитивности функции множеств V выполняется неравенство V( {c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)}) = V({c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)})  V( {a₁, b₁;...; а_n, b_n}) для любого m. Предельным переходом по m получаем неравенство

V({c₁(k), d₁(k);…; c_n(k), d_n(k)})  V( {a₁, b₁;...; а_n, b_n}).

Докажем противоположное неравенство. Рассмотрим систему открытых параллелепипедов {₀{c₁(k) - /2^k, d₁(k) + /2^k; …..; c_n(k) - /2^k, d_n(k) + /2^k}}, где  произвольное положительное число. Данная система покрывает замкнутый параллелепипед *{a₁, b₁;...; а_n, b_n}. Так как последний является компактным множеством (он ограничен и замкнут), то из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие:

*{a₁, b₁;...; а_n, b_n}  ₀{c₁(k) - /2^k, d₁(k) + /2^k; …..; c_n(k) - /2^k, d_n(k) + /2^k}

(без ограничения общности мы предположили, что нужное конечное покрытие находится в начале). Тогда

V(*{a₁, b₁;...; а_n, b_n}) 

 V( ₀{c₁(k) - /2^k, d₁(k) + /2^k; …..; c_n(k) - /2^k, d_n(k) + /2^k}) 

 V(₀{c₁(k) - /2^k, d₁(k) + /2^k; …..; c_n(k) - /2^k, d_n(k) + /2^k}) 

 V(₀{c₁(k) - /2^k, d₁(k) + /2^k; …..; c_n(k) - /2^k, d_n(k) + /2^k}) 

 V(₀{c₁(k), d₁(k); …..; c_n(k), d_n(k)}) + 2ⁿV(*{a₁, b₁;...; а_n, b_n}) /2^k =

= V(₀{c₁(k), d₁(k); …..; c_n(k), d_n(k)}) + 2ⁿV(*{a₁, b₁;...; а_n, b_n}).

В силу произвольности  последнее доказывает противоположное неравенство.