Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства

1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства

Линейным (или векторным) пространством называется множество X, для которого определены операции сложения x+y и умножения векторов на числа x, обладающие следующими свойствами:

1. x+y=y+x;

2. (x+y)+z=y+(x+z);

3. Существует такой элемент (нулевой) 0X, что x+0=x для любого x;

4. Для всякого xX существует обратный (x), т.е. такой, что x+(x)= 0;

5. ()x=(x)

6. (+)x=x+x;

7. (x+y)=x+y

8. 1x=x.

Векторы x₁, x₂,…, x_n называются линейно независимыми, если из равенства ₁x₁ + ₂x₂ +…+ _nx_n = 0 следует, что ₁ = ₂ =…= _n = 0. В противном случае векторы называются линейно зависимыми. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любая система из большего числа векторов является линейно зависимой.

Любой набор из п линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом линейного пространства. Всякий вектор п-мерного пространства представим единственным образом в виде линейной комбинации ₁x₁ + ₂x₂ +…+ _nx_n по базису {x₁,…, x_n}. Если в линейном пространстве существует сколь угодно много линейно независимых векторов, то пространство называется бесконечномерным.

Множество векторов в X, замкнутое относительно операций сложения и умножения на числа, называется линейным многообразием. Множество векторов М, которое вместе с любыми двумя точками содержит прямую, проходящую через них, называется аффинным многообразием. Если x и y – две точки из М, то любая точка прямой, проходящей через x и y представима в виде x +y при некоторых числах ,  таких, что  +  = 1. Аффинное многообразие, содержащее нулевой вектор, является линейным многообразием. Линейное многообразие всегда является аффинным многообразием.

Множество М в линейном пространстве называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Если x и y – две точки из М, то любая точка отрезка, соединяющего x и y представима в виде x +y при некоторых числах ,  таких, что ,   0,  +  = 1. Отрезок с концами x и y обозначается [x, y].

Определение 1. Множество E называется линейным нормированным пространством, если

1. E - линейное пространство с умножением на вещественные (комплексные) числа.

2. Каждому элементу x линейного пространства E ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой этого элемента и обозначается , причём предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы)

1)  0, причём = 0 лишь если x = 0 (нуль векторного пространства);

2) (неравенство треугольника для норм)

3)

В случае, когда рассматриваются несколько нормированных пространств, указание в каком пространстве рассматривается норма, осуществляется следующим образом: ||x|X||, ||y|Z|| и т.д.

В линейном нормированном пространстве можно ввести метрику посредством равенства

Легко проверить, что введённое расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики. После введения метрики определяется сходимость последовательности элементов {x_n} к x, а именно

x=lim x_n или , если при .

Определённая таким образом сходимость в линейном нормированном пространстве называется сходимостью по норме.

Если линейное нормированное пространство является полным в смысле сходимости по норме, то оно называется банаховым пространством.

Пример 1. n-мерное векторное пространство является банаховым пространством, с нормой

= ,

причёт метрика, порожденная нормой, в этом пространстве совпадает с ранее введённой в R_n метрикой.

Пример 2. С[a, b] есть банахово пространство с нормой

= ,

Метрика полученного пространства совпадает с метрикой, ранее введённой в C[a, b].

Пример 3. есть банахово пространство с нормой

= , , 1 p < 

Метрика полученного пространства совпадает с прежней метрикой.

Пример 4. L_p[a, b] есть банахово пространство с нормой, 1 p < 

= , .

Свойство треугольника нормы вытекает из неравенства Минковского (см. Приложение). Полнота этого пространства будет установлена в главе 8.

Пример 5. С_k[a, b] – есть банахово пространство с нормой

= .

Пример 6. m – банахово пространство, с нормой

= ,

метрика в котором совпадает с метрикой, введенной ранее.

Пример 7. L_[a, b] – банахово пространство измеримых, п.в. ограниченных функций с нормой

= = ess sup |x(t)|.

Полнота этого пространства будет доказана в главе 8.

Не все ранее рассмотренные метрические пространства являются нормированными. Нельзя ввести норму, порождающую ту же топологию, что и метрика, например, в пространстве числовых последовательностей s.

Отметим непрерывность основных линейных операций в линейном нормированном пространстве, а именно:

Если x_n  x, y_n  y, _n  , то тогда x_n + y_n  x + y, _nx_n  x. Это следует из соотношений

+ .

+ .

Далее нетрудно видеть, что если x_n  x, то ||x_n||  ||x||, и, в частности, ||x_n|| есть ограниченная числовая последовательность. Это вытекает из обратного неравенства треугольника:

| ||x|| - ||y|| |  ||x – y||,

легко вытекающего из неравенства треугольника.

Так как линейное нормированное пространство есть метрическое пространство, то для такого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах (шар, ограниченное множество, компактность, сепарабельность и т.д.), а также имеют место все теоремы, доказанные для таких пространств.

Для банаховых пространств будет справедливым все, что было ранее установлено для полных метрических пространств.

Пусть L – линейное многообразие линейного нормированного пространства Е. Если L , кроме того, является замкнутым множеством, то L называется подпространством.

Если L – конечномерное линейное многообразие линейного нормированного пространства, то, как мы увидим ниже, =L . Для бесконечных линейных многообразий это равенство может не иметь место.

Пример 8. Пусть E = C[a,b] и L – линейное многообразие, порожденное элементами

x₀ = 1, x₁ = t, …, x_n = tⁿ,…

Тогда L – множество всех многочленов. При этом в силу теоремы Вейерштрасса

= C[a,b] L.

Пусть x₁, x₂, …, x_n, … – элементы нормированного пространства Е. Выражение вида назовём рядом, составленным из элементов пространства . Этот ряд называется сходящимся и имеет сумму х, если последовательность частных сумм сходится по норме к х при .

Для рядов в нормированных пространствах вводится понятие абсолютной сходимости: если сходится числовой ряд

.

В нормированных пространствах справедлив следующий признак полноты пространств.

Теорема 1. Для того чтобы нормированное пространство Х было полным необходимо и достаточно, чтобы из абсолютной сходимости ряда вытекала его сходимость.

Необходимость. В силу полноты пространства Х для сходимости последовательности достаточно, чтобы она была фундаментальной. Но это с очевидностью следует из неравенства

,

где последняя оценка вытекает из критерия Коши сходимости числового ряда .

Достаточность. Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность x_n в Х. В силу фундаментальности этой последовательности для  = 1/2^k найдется номер n_k такой, что при n, m  n_k выполняется неравенство ||x_n – x_m|| < 1/2^k. Возьмем подпоследовательность и построим по ней последовательность y₁ = , y_k = . В силу оценки ||y_k|| = || || < 1/2^k, ряд сходится абсолютно, а следовательно и сходится. Тогда частичные суммы этого ряда S_m = сходятся. Итак, взятая нами фундаментальная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. В силу леммы 2.4 и сама последовательность сходится.

Пусть X – нормированное пространство, а М – подпространство в X. Введем на Х отношение эквивалентности, полагая х  у если х - у  М. Элементы пространства X разобьем на непе­ресекающиеся классы эквивалентности [х], [z], ... Элемент х  [х] будем назы­вать представителем класса [х]. Если х — представитель класса [х], то любой другой представитель [х] будет иметь вид х + z, где z  М. Множество всех таких классов называется фактор-пространством пространства X по подпространству М и обозначается = Х/М.

Введем в операции сложения классов и умножения класса на число. Пусть х  [х], у  [у], тогда класс [х] + [у] определим как класс, представителем которого является элемент х + у. Далее, класс а[х], где а – число, определим как класс, содержащий ах.

Введем в норму по формуле

||[x]|| = .

Аксиомы нормы проверяются достаточно несложно (проверьте!). Итак, – нормированное пространство.

Теорема 2. Если X полное, то и полное.

Доказательство. Покажем сначала, что если последователь­ность {[х]_n}  фундаментальна в , то найдется последовательность номеров {n(k)} такая, что соответствующая ей подпоследовательность представителей {х_n(k)}  X (х_n(k)  [х] _n(k)) сходится в X.

Действительно, возьмем n(k) такими, чтобы ||[x]_{n(k + 1)} – [x]_n(k)|| < 1/2^k, k = 1, 2, ... Из определения нормы в следует существование z_k  [x]_{n(k + 1)} – [х]_n(k) таких, что ||z_k|| < 1/2^k, k = 1, 2, ... Рассмотрим в X сходящийся ряд х_n(1) + z₁ + z₂ + ... и пусть х — его сумма. По построе­нию х_n(k)  х, k   и

Отсюда и из фундаментальности {[х]_n} заключаем, что [х]_n(k)  [x], где [х] – класс, содержащий х. Теорема доказана.