2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.

Пусть даны два линейных нормированных пространства Е₁ и Е₂. Мы будем называть эти пространства изоморфными, если существует взаимнонепрерывное (гомеоморфизм) биективное отображение Е₁ на Е₂. Имеет место следующая важная теорема:

Теорема 3. Все конечномерные линейные нормированные пространства данного числа измерений n изоморфны евклидову n-мерному пространству R_n и, следовательно, изоморфны друг другу.

Доказательство. Пусть Е есть n – мерное линейное нормированное пространство с нормой |||E|| и е₁,…,е_n - базис этого пространства. Тогда любой элемент однозначно представим в виде

x= ξ₁e₁+ …+ ξ_ne_n.

Поставим элементу в соответствие элемент

= (ξ₁, …, ξ_n) R_n

Очевидно, что таким образом установленное соответствие между элементами x и является взаимно однозначным. Кроме того, это соответствие есть изоморфизм линейных пространств Е и R_n. Покажем, что оно взаимно непрерывно.

Для любого имеем

(1)

В частности,

, (2)

где β не зависит от x и y.

Установим теперь неравенство противоположного знака. На поверхности S единичного шара пространства R_n (т.е. на компактном замкнутом множестве) рассмотрим функцию

Так как на S все ξ_i не могут одновременно обращаться в нуль, то в силу линейной независимости е₁,…,е_n имеем

.

Неравенство

показывает, что - непрерывная функция. По теореме Вейерштрасса эта функция достигает на S своего минимума α. Легко видеть, что α>0. Следовательно, для

откуда для любого имеем

(3)

Из (1) и (3) следует взаимная непрерывность отображения E на R_n. Теорема доказана.

Из гомеоморфизма E и R_n следует, что в конечномерном линейном нормированном пространстве сходимость по норме сводится к покоординатной сходимости и поэтому такое пространство всегда полное.

Для подпространства линейного нормированного пространства имеет место следующее важное предположение, установленное Ф. Риссом:

Теорема 4 (лемма Рисса о почти перпендикуляре). Пусть L – подпространство линейного нормированного пространства Е, несовпадающее с Е. Тогда для любого заданного ε > 0 найдётся в Е такой элемент y с нормой, равной единице, что

для всех x L.

Доказательство. Пусть y₀ – любой элемент из Е, не принадлежащий L, и

Тогда d > 0, так как иначе y₀ был бы предельным элементом для L и, следовательно, в силу замкнутости L, входил бы в L, что невозможно по условию. Далее

Положим .

Элемент (т.к. иначе входил бы в L) и Возьмём любой элемент . Пусть , L. Тогда

,

что и требовалось доказать.

Известно, что в n-мерном евклидовом пространстве всякое ограниченное множество компактно. Докажем, что компактность ограниченных множеств, есть характеристическое свойство конечномерных линейных нормированных пространств.

Теорема 5 (теорема Рисса о локальной компактности). Для того, чтобы подпространство L линейного нормированного подпространства Е было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы каждое ограниченное множество элементов из L было относительно компактно.

Необходимость. Пусть L n-мерно. Тогда L гомеоморфно n-мерному евклидову пространству R_n. Ограниченное множество взаимно однозначно и взаимно непрерывно преобразуется в ограниченное множество N  R_n, и так как N в R_n относительно компактно, то M в L также относительно компактно.

Достаточность. Предположим, что каждое ограниченное множество элементов из L относительно компактно. Возьмем в L произвольный элемент x₁, . Обозначим через подпространство, порожденное элементом . Если L = , то теорема доказана. Если же не совпадает с L, то по теореме 3. найдется в L элемент такой, что и . Обозначим через подпространство, порождаемое элементами и . Имеются 2 возможности: либо L = и теорема доказана, либо не совпадает с L. Тогда по той же теореме найдется элемент такой, что и . Продолжим этот процесс. Тогда можно сделать 2 предположения: либо для некоторого n подпространство совпадет с L и теорема будет доказана, либо мы построим бесконечную последовательность такую, что и при для любых n и m,. Но вторая возможность отпадает, т.к. она означала бы существование ограниченного ( ) множества , из которого нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность ( ), что противоречит условию теоремы.