6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.

Пусть X – банахово пространство и А – ограниченный линейный оператор, определенные на Х, с областью значений в банаховом пространстве Y. Пусть х Х и f Y*. Тогда определено значение f(Ax), при этом выполняются неравенства | f(Ax)|  ||f ||||Ax||  ||f ||||A||||x||. Эти неравенства показывают, что линейный функционал (х), определенный равенством (х) = f(Ax), является ограниченным функционалом. Таким образом, каждому линейному ограниченному функционалу f Y с помощью оператора А ставится в соответствие линейный непрерывный функционал  Х*. Меняя элемент f мы будем получать, вообще говоря, разные элементы ; тем самым мы получаем оператор

 = A*f,

определенный на Y*, с областью значений в пространстве X*. Этот оператор A* связан с оператором А равенством (A*f)(x) = f(Ax). Если применить введенное в п. 2 обозначение для линейного функционала f(x) = (x, f), то связь операторов будет выглядеть симметрично:

(Ax, f)=(x, A*f). (1)

Оператор A* однозначно определяется формулой (1) и называется оператором, сопряженным с оператором А.

Действительно, если для всех x и y имеют место равенства

(Ax, y) = (x, A*y) = ( x, A₁*y),

то отсюда по следствию 4 из теоремы Хана-Банаха следует, что A₁*y= A*y для всех y, а это означает, что A*=A₁*.

Теорема 11. Сопряженный оператор A* – линейный и .

Доказательство. Докажем аддитивность оператора A*. Действительно, если y, z Y*, то из рассуждений выше вытекает существование единственного элемент (y + z)* X, что (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) при всех x X.

С другой стороны, с помощью формулы (1) имеем

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x, (y+z)*),

т.е. (y+z)* = A*x + A*y, откуда A*(y+z)=A*y+A*z. Это доказывает аддитивность оператора А*. Однородность также легко проверяется.

Для вычисления нормы оператора А* проведем оценки

.

Отсюда следует, что оператор A* – ограниченный и .

У оператора A*, в свою очередь, есть сопряженный – A**, определяемый равенством, аналогичным (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Но, так как из (2) A**x определяется однозначно для каждого xХ, то из сопоставления равенств (1) и (2) следует, что

(Ax, y) = (A**x, y) хХ, yY.

В силу следствия 4 из теоремы Хана-Банаха последнее означает, что A**x=Ax для всех xX, т.е. A**= A на пространстве Х. Применяя доказанное неравенство для нормы сопряженного оператора к A* и A**, имеем , что и дает требуемое равенство: . Теорема доказана.

Теорема. 12. Если А и В линейные ограниченные операторы из банахова пространства Х в банахово пространство Y, то

1. (А+В)*=А*+В*

2. (λА)*= λА*

3. В предположении Х = Y, справедливо равенство (АВ)*=В*А*.

Доказательство. Вышеуказанные свойства вытекают из следующих соотношений:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*)y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, ( λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y).

Теорема доказана.

Пример 8. В пространстве L₂[a,b] рассмотрим интегральный оператор Фредгольма

с ядром, имеющим интегрируемый квадрат. Имеем, используя теорему Фубини,

, где

.

Таким образом, переход к сопряженному оператору заключается в том, что интегрирование ведется по первой переменной. Тогда как в исходном операторе оно ведется по второй.

7. Самосопряженный оператор. Норма самосопряженного оператора

Определение 4. Линейный ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве Н называется самосопряженным или симметрическим, если он совпадает со своим сопряженным: А = А*.

Иными словами, самосопряженный оператор А характеризуется условием (Ax, y) = (x, Ay) для . В последнем примере, если ядро K(t, s) симметрическое: K(t, s) = K(s, t), то

и значит, интегральный оператор будет симметрическим.

Нетрудно видеть, что любая линейная комбинация самосопряженных операторов также является самосопряженным оператором.

Таким образом, в линейном нормированном пространстве линейных операторов, отображающих Н в Н, самосопряженные операторы составляют линейное многообразие. Кроме того, мы сейчас докажем, что это подмножество замкнуто и, следовательно, является подпространством. Другими словами, если операторы A_n – самосопряженные и A_n (по норме), то и оператор А – самосопряженный. Докажем даже более сильное утверждение.

Теорема 13. Если операторы A_n – самосопряженные и последовательность {A_n} точечно сходится к оператору А, то А будет также самосопряженный оператор.

Доказательство. Из непрерывности скалярного произведения следует, что при любых .

(Ах, у) = ( А_nx, y) = (А_nx, y) = (x, А_ny) = (x, А_ny) = (x, Ay).

Теорема доказана.

Если операторы А и В – самосопряжённые, то Следовательно, для того, чтобы оператор АВ был самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы , т.е., чтобы операторы А и В были перестановочны между собой. В частности, все степени самосопряжённого оператора А также есть самосопряжённые операторы.

Имеет место следующая важная формула для нормы самосопряжённого оператора.

Теорема 14. Если оператор А – самосопряжённый, то

Доказательство. По неравенству Коши – Буняковского имеем, при Следовательно, если то

Докажем обратное неравенство. Заметим, что любой можно представит в виде где (т.к. если то если то любой вектор с нормой равной единице). Отсюда для любого выполнено |(Az, z)| = ||z||²|(Az, z )|  C||z||².

Теперь для любых учитывая равенство имеем

и, вычитая из первого равенства второе, находим

Отсюда, и установленного выше неравенства |(Az, z)|  C||z||²

|(Ax, y)|  C(||x + y||² + ||x – y||²)|.

Воспользуемся равенством параллелограмма (теорема 6.8)

,

получаем

|(Ax, y)|  C(||x||² + ||y||²)|.

Полагая подставим в последнем неравенстве . Тогда и мы получаем или Это же неравенство верно и при Ах = 0. Следовательно, и, тем самым, равенство доказано.

Следствие 1. Если для самосопряжённого оператора при всех то А=0.

Действительно, если при всех то по теореме, и значит А = 0.

Для самосопряжённого оператора А вводится ещё понятие его границ – верхней и нижней:

Следствие 2. Из теоремы следует, что

Из определения границ легко выводится, что для любого имеет место соотношение

Задачи

1. Являются ли линейными следующие функционалы в C[0, 1]?

1. ;

2. F(x)=x(1/2);

3. ;

4. 

5. ;

6. ;

7. F(x)=x(t₀);

8. ;

9. ;

10. .

Какие из этих функционалов непрерывны в C[0, 1]? Вычислить их нормы.

Какие из этих функционалов непрерывны в L²[0,1]? Вычислить их нормы.

2. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих классах элементов из l², будут линейными; непрерывными?

1. f(x)= x_ksink;

2. f(x)= x_k;

3. f(x)= x_ksgn(k-n);

4. f(x)= x_k²k^1/2;

5. f(x)= x_kk^-1/2;

6. f(x)= x_k²;

7. f(x)= x_k-x_k-1;

8. f(x)= |x_k|;

9. f(x)=sup_k|x_k|;

10. f(x)= |x_k| ².

3. Найти норму функционала в пространстве C[0, 1].

4. Непрерывны ли на пространстве , следующие линейные функционалы

а) ;

б) ;

5. Проверить, что функционал

непрерывен в пространстве ; показать, что точная верхняя грань его значений в замкнутом единичном шаре пространства С[0,1] равна 1, но эта верхняя грань не достигается ни на каком элементе единичного шара.

6. Пусть в гильбертовом пространстве последовательность {х_n} слабо сходится к х₀, т.е. (x_n, y)  (x₀, y) для любого y H, и ||х_n||  ||х₀||. Показать, что х_n  х₀.

7. Если в гильбертовом пространстве последовательность {х_n} слабо сходится к х₀ и последовательность {y_n} сходится по норме к y₀, то (х_n, y_n)  (х₀, y₀). Достаточно ли слабой сходимости последовательности {y_n}?

8. Докажите, что в конечномерном пространстве слабая сходимость совпадает с сильной, т.е. сходимостью по норме.