7. Сепарабельные топологические пространства

Определение 16. Если топологическое пространство X имеет не более чем счетное подмножество А, замыкание которого совпадает с Х, то оно называется сепарабельным. В противном случае пространство называется несепарабельным.

Для метрического пространства (Х, d) это означает, что существует последовательность x₁, x₂,... элементов из Х такая, что для xX,>0  n(, x): d(x_n, x) < .

Пример 20. s - сепарабельное пространство. Действительно, рассмотрим _r подмножество из s последовательностей, координаты которых являются рациональными числами и начиная с некоторого номера все координаты равны 0. Если обозначить _r(n) – множество последовательностей, у которых первые n координат рациональные числа, а последующие координаты 0, то это множество будет счетным, как конечное объединение счетных множеств. Так как _r = _r(n), то оно счетно, как счетное объединение счетных множеств. С другой стороны, для заранее заданного >0 найдется номер m такой, что

.

Тогда для любой последовательности х = {x_n} и любого n найдется такое рациональное число r_n, что |r_n - x_n|< /2. Обозначим через r последовательность, у которой первые m координат равны r_n а последующие равны 0. Тогда r  _r и

Пример 21. l_p, 1p< - сепарабельно. В этом случае в качестве счетного всюду плотного подмножества можно взять тоже самое множество _r из предыдущего примера. При этом рациональные числа подбираются исходя из неравенств: |r_n-x_n|< /2^n/p (проверьте самостоятельно нужное неравенство).

Пример 22. m- несепарабельно. Для проверки этого докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Если в метрическом пространстве Х  >0 и несчетное множество {x_}: d(x_, x_)  ,   , Х – несепарабельное пространство.

Доказательство. От противного предположим, что Х - сепарабельно. Тогда существует счетное множество {y_k} такое, что для  = /2, S_(y_k) = X. Так как {y_k} - счетное, {x_} -несчетное, то найдется хотя бы один шар S_(y_k), в котором будет более одного элемента из {x_}. Пусть x_, x_S_(y_k)   . Тогда   d(x_, x_)  d(x_,y_k) + d(y_k, x_) < 2 =  и  <  - получили противоречие.

Для доказательства несепарабельности пространства m достаточно воспользоваться этой леммой. В качестве нужного семейства рассматриваются элементы из m, у которых координаты равны либо 0, либо 1. Тогда расстояние между различными элементами этого семейства равно единице. Используя диагональный метод Кантора можно убедиться, что рассмотренное семейство несчетно.

Отметим без доказательства, что сепарабельность топологического пространства влечет наличие в нем счетной базы. Обратное вообще говоря неверно. Однако в случае метрических пространств, наличие счетной базы топологии влечет сепарабельность.

8. Индуцированные топологии и фактортопология

Пусть (Х, ) – топологическое пространство, Y  Х – подмножество в Х. Рассмотрим систему подмножеств множества Y: _Y = (V: V = UV, U  ).

Теорема 9. Система _Y является топологией на Y.

Доказательство этой теоремы не представляет сложности. Топология _Y называется индуцируемой или наследственной топологией из Х. Пространство (Y, _Y) называется подпространством пространства (Х, ).

Подмножества топологических пространств рассматривают, как правило, с индуцированной топологией. Однако, необходимо иметь ввиду, что переход к индуцированной топологии может изменить сам вид открытых множеств, их структуру. Так, если взять промежуток [a; b) с индуцированной из числовой прямой естественной топологией, то в этой топологии множества вида [a; c), где a < c < b, будут являтся открытыми. В исходной же топологии они не являются открытыми.

Пусть в абстрактном множестве Х между некоторыми элементами х, у  Х определено отношение хRу. Это отношение называется эквивалентностью если выполнены следующие свойства:

1) хRх для любого х  Х (рефлексивносгь);

2) если хRу, то уRх (симметричность);

3) если хRу и уRz, то хRz (транзитивность) .

Множество Х распадается на непересекающиеся множества эквивалентных между собой элементов, или классы эквивалентности.

Множество (D_х) всех классов эквивалентности обозначим через Х/R.

Определение 17. Множество X/R называется фактормножеством множества Х по отношению эквивалентности R.

Пусть (Х, ) – топологическое пространство, пусть в множестве Х определено отношение эквивалентности R. Тогда на фактормножестве Х/R можно ввести естественную топологию следующим образом: подмножество V  (D_х), состоящее из элементов D_х назовем открытым тогда и только тогда, когда объединение классов эквивалентности D_х, которые попали в V, как подмножество Х открыто в пространстве (Х, ); к открытым множествам, естественно, отнесем и пустое множество. Как нетрудно проверить, эта совокупность открытых подмножеств в Х/R является топологией и обозначается _R.

Примеры 23. Если Х – прямоугольник (a; b)(с; d), а отношение эквивалентности R задано так, что хRу тогда и только тогда, когда х и у лежат на одной горизонтали в Х, то Х/R – топологическое пространство, которое можно отождествить с интервалом (c; d).