9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

Определение 15. Пусть Х – метрическое пространство Множество А  Х называется нигде не плотным, если его замыкание А не имеет внутренних точек. Последнее эквивалентно тому, что в любом шаре найдется шар, не содержащий точек из А.

Действительно, возьмем любой шар S. Он не может лежать полностью в множестве А, т.к. в этом случае все его внутренние точки окажутся внутренними для А. Следовательно, S(X - А)  . Тогда для любой точки х  S(X - А) (множество Х - А – открыто) найдется шар малого радиуса S₁, который полностью лежит в S(X - А), а следовательно не имеет общих точек с А. Обратное очевидно.

Определение 16. Счетное объединение нигде не плотных множеств называется множеством первой категории, а множество, не являющееся множеством первой категории, - множеством второй категории.

Теорема 17 (Бэра). Полное метрическое пространство является множеством второй категории, т.е. не может быть объединением счетного множества нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное, что полное метрическое пространство X является счетным объединением нигде не плотных в X множеств X = . Рассмотрим непустое открытое множество X – А₁ и некоторую точку x₁ из этого множества. Найдется открытый шар S(x_l, r₁), который содержится в множестве X – А₁. Для этого шара справедливы соотношения S(x₁, r₁/2)  S[x₁, r₁/2]  S(x₁, r₁). Следовательно, S[x₁, r₁/2] А₁ = .

Возьмем точку х₂ из непустого открытого множества S(x₁, r₁/2) (X – А₂) (см. рассуждения после определения 15). Найдется открытый шар S(х₂, r₂), содержащийся в этом пересечении. Не умаляя общности, можно считать, что r₂  r₁/2, т.е. можно уменьшить радиус шара, не нарушая включения

S(х₂, r₂)  S(x₁, r₁/2) (X – А₂).

Тогда справедливы включения

S(х₂, r₂/2)  S[х₂, r₂/2]  S(х₂, r₂)  S(x₁, r₁/2) S[x₁, r₁/2],

причем S[x₂, r₂/2] А₂ = .

Далее, по индукции, в непустом открытом множестве

S(x_{n - 1}, r_{n - 1}/2) (X – А_n)

найдется открытый шар S(х_n, r_n), r_n  r_{n – 1}/2, для которого выполняются включения

S(х_n, r_n/2)  S[х_n, r_n/2]  S(х_n, r_n)  S(x_{n - 1}, r_{n - 1}/2) S[x_{n - 1}, r_{n - 1}/2],

причем S[x_n, r_n/2] А_n = .

Мы построили последовательность { S[x_n, r_n/2]} замкнутых вложенных шаров с радиусами r_n/2  r_{n – 1}/2²  …  r₁/2ⁿ, стремящимися к нулю при n  , для которых S[x_n, r_n/2] А_n = . По критерию полноты метрических пространств существует точка х, принадлежащая всем шарам. Из равен­ства X = следует, что х принадлежит какому-то из множеств, скажем A_m.. Мы получили противоречие: x  S[x_m, r_m/2] А_m, в тоже время по построению шаров S[x_m, r_m/2] А_m =  и тем более S[x_m, r_m/2] А_m = .

Следствие. Если полное метрическое пространство X является счетным объединением замкнутых множеств, то хотя бы одно из них содержит шар поло­жительного радиуса.

Задачи

1. Пусть M нигде не плотное множество метрического пространства. Каким будет его дополнение?

2. Пусть X – пространство элементов вида , где n – фиксировано, - рациональные числа, с метрикой

Будет ли это пространство полным? Что будет являться его пополнением?

3. В пространстве построить последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств с пустым пересечением.

4. Показать, что пространство непрерывных функций с метрикой

неполно ни при каком p.

5. Ввести на прямой метрику по формуле

Проверить выполнение всех аксиом метрического пространства. Будет ли это пространство полным?

6. Доказать, что пространство С_m[a, b] полно при любом m.

7. Является ли полным пространство всех числовых последовательностей

где , с метрикой по формуле

?

8. Рассмотрим три пространства функций на прямой с метрикой d(f(x), g(x)) = :

а) всех ограниченных непрерывных функций;

б) всех непрерывных функций, у которых ;

в) всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю вне некоторого интервала.

Будут ли указанные пространства полными?

9. Отображение A на полупрямой переводит точку x в . Является ли отображение сжимающим? Имеет ли неподвижную точку?

10. Пусть функция , заданная и дифференцируемая на отрезке [0, 1], удовлетворяет неравенствам

Будет ли уравнение иметь решение?

11. В пространстве элементов вида с метрикой . Найти условие разрешимости системы

12. Непрерывны ли функции , где B – множество в метрическом пространстве X.

13. Дано отображение компакта в себя, удовлетворяющее условию при . Показать, что у этого отображения существует единственная неподвижная точка.

14. Может ли компактное множество быть неограниченным?

15. Привести пример компактного в пространстве m множества, все точки которого имеют бесконечное множество координат, отличных от нуля.

16. Будет ли компактным в пространстве C[a, b] множество всех степеней ?

17. Показать, что последовательность непрерывных функций на отрезке [0, 1], где

сходится по расстоянию к и в и в (см. задачу 4), но не стремящуюся в С[a, b] в метрике Чебышева (пример 7, гл. 1) к единице при t = 0.

18. Пусть Х - метрическое пространство, в котором любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность. Доказать, что пространство Х сепарабельно.

19. Показать, что пространств h всех числовых последовательностей, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля членов, с метрикой d(x, y) = sup _n |x_n - y_n| является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

20. Показать, что пространство С(-, ) всех определенных на числовой прямой непрерывных функций, каждая из которых обращается в нуль вне некоторого интервала, с метрикой

является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

21. Показать, что множество F замкнуто тогда и только тогда, когда из d(x, F) = 0 следует хF.

22. В любом ли метрическом пространстве замыкание открытого шара S(x, r) совпадает с замкнутым шаром S[x, r]?

23. Обозначим А_К множество всех функций из С[a, b], удовлетворяющих условию Липшица с одной и той же константой К:

|x(t) - x(s)|  K|t - s|.

Показать, что множество А_К совпадает с замыканием множества всех дифференцируемых на сегменте [a, b] функций x(t) таких, что |x(t)|  K.

24. Указать в эвклидовой плоскости два таких замкнутых непересекающихся множества А и В, что d(А, В) = 1, но не существует точек аА и bВ таких, что d(а, b) = 1.

25. Показать, что если А - компактное, а В замкнутое множества в метрическом пространстве Х и АВ = , то d(А, В) > 0.

26. Пусть f(х) - непрерывное взаимооднозначное отображение компактного метрического пространства Х на метрическое пространство У. Доказать, что обратное отображение f ^-1(у) пространства У на пространство Х непрерывно.

27. Доказать, что если возрастающая последовательность {x_n(t)} вещественных непрерывных функций, заданных на компактном метрическом пространстве Х, поточечно сходится к непрерывной функции х(t), то она сходится к х(t) равномерно.

28. Пусть d(x, y) - метрика на Х. Показать, что

также является метрикой на Х и что эти три метрики попарно эквивалентны.

29. Пусть Х - метрическое пространство, в котором любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность. Доказать, что пространство Х сепарабельно.

30. Показать, что пространств h всех числовых последовательностей, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля членов, с метрикой d(x, y) = sup _n |x_n - y_n| является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

31. Пусть Х - метрическое пространство с метрикой

Ответить на следующие вопросы: 1) В каком случае {x_n} будет сходящейся последовательностью в Х? 2) В каком случае {x_n} будет фундаментальной последовательностью в Х? 3) Будет ли Х полным пространством? 4) Какие множества всюду плотны в Х? 5) В каком случае Х является сепарабельным пространством? 6) Какие множества в Х открыты, замкнуты?

32. В любом ли метрическом пространстве замыкание открытого шара S(x, r) совпадает с замкнутым шаром S[x, r]?