2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора

Оказывается, АL(X, Y) и сопря­женный к нему оператор A* L(Y*, X*) одновременно вполне непрерывны или нет. Точнее, имеет место следующая теорема Шаудера.

Теорема 3 (Шаудера). Пусть АL(X, Y), где Y – полное. Оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда А* вполне не­прерывен.

Необходимость. Пусть S и S* – замкнутые единичные шары с центром в начале координат пространств X и Y* соответ­ственно. Рассмотрим АK(X, Y). Возьмем произвольную последовательность функционалов {f_n}  S* и рассмотрим последовательность функций _n (y) = f_n(y), n=1, 2, ... На любом ограниченном в Y множестве эти функции равно­мерно ограничены (по n), так как |_n (y)| = |f_n(y)|  ||f_n||||y||  ||y|| и равностепенно непрерывны: |_n (y₁) - _n (y₂)| = |_n (y₁ - y₂)| = |f_n(y₁ – y₂)|  ||f_n||||y₁ – y₂||.

Будем рассматривать {_n (y)} на множестве AS, которое компактно (ведь А вполне непрерывен) и замкнуто. По теореме Арцела найдется подпоследовательность {_nk(Ax)} = {A*f_nk(x)}, сходящаяся на S равномерно. Это означает, что {A*f_nk} сходится в метрике X*. Следовательно, А* вполне непрерывен.

Достаточность. Пусть А* вполне непрерывен. Тогда по доказанному выше А** = (А*)* также вполне непрерывен. Пусть S** – замкнутый единичный шар в X**. Множество A**S**  Y** относительно компактно. Так как пространство Y  Y**, то в соответствии с этим вложением AS  A**S** и, значит, AS относительно компактно в Y. Это и означает, что А вполне непрерывен. Теорема доказана.

Пусть А вполне непрерывный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве X. Линейное уравнение вида (у  Х)

х - Ах = у (3)

будем называть уравнением 2-го рода. Линейное уравнение Ах = у с вполне непрерывным оператором А будем называть уравнением 1-го рода. Как ни странно, теория линейных уравнений 2-го рода (3) намного проще по сравнению с теорией уравнений 1-го рода.

Перейдем к ее изложению. Наряду с уравнением (3) будем рассматривать соответствующее ему однородное уравнение

z – Az = 0, (4)

а также сопряженное уравнение

f – A*f =  (3*)

и сопряженное однородное уравнение

f – A*f = 0 (4*)

Заметим, согласно теореме Шаудера оператор A* вполне непрерывен, так что все уравнения (3), (3*), (4), (4*) являются уравнениями 2-го рода. Докажем сначала следующее вспомогательное предложение.

Теорема 4. Пусть А – линейный вполне непрерывный опе­ратор. Тогда множества значений операторов I – А и I – А* замкнуты и, значит, являются подпространствами в X и в X* со­ответственно.

Доказательство. Пусть {у_n} принадлежит R(I – A) – множеству значений оператора I – А. Тогда най­дутся x_n  X такие, что х_n – Ах_n = у_n. Пусть у_n  у₀ при n  . Покажем, что y₀  R(I – A). Рассмотрим ряд случаев. Если {х_n} ограничена, то {Ах_n} относительно компактна, откуда следует, что {х_n} также относительно компактна. Достаточно заметить, что х_n = у_n + Ах_n, где {y_n} сходится, а {Ах_n} относительно компактна. Вследствие компактно­сти из {х_n} можно выделить {х_n(k)} – подпоследовательность, сходящуюся к х₀; тогда, переходя к пределу при n(k)   в ра­венстве х_n(k) – Ах_n(k) = у_n(k) получим вследствие непрерывности А, что х₀ – Ах₀ = у₀, т. е. у₀  R (I – А).

Если {х_n} не ограничена, то поступим следующим образом. Пусть N – подпространство нулей оператора I – A, т. е. мно­жество всех решений уравнений (4). Введем расстояние d_n = d(x_n, N) = inf_{z  N} ||x_n – z||. Согласно определению нижней грани в N найдется элемент z_n такой, что d_n  ||x_n – z_n||  (1 + 1/n)d_n. Далее, (I – A) (х_n – z_n) = y_n. Если {d_n} ограничена, то, как и выше, с заменой х_n на x_n – z_n получаем, что y₀  R(I – A).

Оказывается, случай неограниченности {d_n} невозможен. В самом деле, если {d_n} не ограничена, то, переходя, если нуж­но, к подпоследовательности, можно считать, что d_n  , при n  . Рассмотрим элементы

.

Тогда ||u_n|| = 1 и (I – A)u_n =  0, n  , так как

.

Как и выше, отсюда следует, что найдется подпоследовательность и_n(k)  u₀, причем u₀N. Но x_n(k) – z_n(k) – || x_n(k) – z_n(k)||u₀ = (u_n(k) – u₀) || x_n(k) – z_n(k)||. Причем z_n(k) + || x_n(k) – z_n(k)||u₀  N. Следовательно, по неравенству (3) имеем

||u_n(k) – u₀||(1 + 1/nk)d_n(k)  || (u_n(k) – u₀)||x_n(k) – z_n(k)|| || =

= ||x_n(k) – {z_n(k) + ||x_n(k) – z_n(k)||u₀}||  d_n(k)

откуда ||u_n(k) – u₀||  n(k)/(n(k) + 1), а это противоречит тому, что ||u_n(k) – u₀||  0 при n(k)  . Итак, {d_n} ограничена и замкнутость R(I – A) доказана. Замкнутость R(I – A*) является следствием вышеизложенного, ибо А* также вполне непрерывен. Теорема доказана.