5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
Рассмотрим
сепарабельное бесконечномерное
гильбертово пространство H,
и пусть
–
полная ортонормальная система векторов
в этом пространстве. Если х
–
некоторый элемент из H,
то этому элементу можно сопоставить в
соответствие последовательность чисел
,
являющихся коэффициентами Фурье вектора
х
по системе
.
Как было показано
в п.5 гл.6, ряд
сходится, и, следовательно, последовательность
можно рассматривать как некоторый
элемент
гильбертова пространства
.
Таким образом, каждому элементу
соответствует некоторый элемент
,
причём в силу условия полноты системы
.
(1)
Далее очевидно,
что если
соответствует
и
соответствует
,
то
и
x
соответствует
и
,
где
–
вещественное
число. Отсюда и из (1) следует:
.
(2)
Пусть теперь
–
произвольный элемент из
.
Рассмотрим в H
элементы
,
.
Имеем
,
и потому
при
.
Таким образом,
последовательность
фундаментальна. В силу полноты H
она сходится в смысле метрики пространства
H
к некоторому элементу
этого пространства. Так как
,
то коэффициенты Фурье элемента z
по ортонормальной системе
есть числа
.
Таким образом, каждый элемент
соответствует некоторому элементу
.
Тем самым, мы установили взаимно
однозначное соответствие между элементами
пространств H
и
.
Формула (2) показывает, что это соответствие
между H
и
является изометрией. Учитывая ранее
сказанное относительно сохранения
операций сложения и умножения на число
при рассматриваемом соответствии,
получаем, что H
и
изометрически изоморфны. Таким образом,
нами доказаны следующая теорема.
Теорема 9. Всякое (вещественное) сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изометрично и изоморфно (вещественному) пространству и, следовательно, все вещественные сепарабельные гильбертовы пространства изометричны и изоморфны между собой.
Следствие.
Вещественные пространства
и
изометричны и изоморфны.
Найдём общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.
Рассмотрим
в гильбертовом пространстве H
два элемента, x
и y,
и скалярное произведение этих элементов
.
Если мы зафиксируем вектор
y
и будем менять вектор x,
то получим некоторый функционал
,
определённый на H:
.
Из аддитивности и непрерывности скалярного произведения следует, что – линейный функционал в H. Выбирая различные , мы будем получать различные линейные функционалы . Покажем, что таким образом мы получим все линейные функционалы.
Теорема 10 (Рисса-Фишера). Всякий линейный функционал , определённый на гильбертовом пространстве H, имеет вид
,
(3)
где
элемент
однозначно определяется функционалом
f.
При этом
.
Доказательство.
Рассмотрим подпространство
,
определяемое уравнением
(ядро
функционала).
Замкнутость N
следует из непрерывности функционала
.
Если
,
т. е.
тождественно равен нулю, мы можем
написать
,
и в этом случае равенство (3) доказано.
Пусть
теперь
;
возьмём
,
и обозначим через
проекцию элемента
на ортогональное дополнение М
подпространства N.
Пусть
(ясно, что
0).
Тогда, полагая
,
будем иметь
.
Возьмём
любой элемент
,
и пусть
.
Имеем
,
откуда
,
т. е.
.
Поэтому любой вектор
имеет вид
,
(4)
т. е.
H
есть ортогональная сумма подпространства
N
и одномерного подпространства M,
порождаемого элементом
.
Из равенства (4), умножая скалярно на
,
получаем
(y1N
= M,
z N),
или
.
Обозначая
через
,
будем иметь
,
и равенство (3) доказано.
Если,
теперь при всех
верно равенство
для некоторого другого элемента
,
то
или
при любом
.
В частности полагая
,
получим
,
т. е.
и однозначность представления линейного
функционала в виде скалярного произведения
доказана.
Из
неравенства Коши-Буняковского при
,
получим
,
поэтому и
.
(5)
С
другой стороны, если
,
то мы будем иметь
,
и так
как
,
то
.
(6)
Из сравнения (5) и (6) следует, что , и теорема полностью доказана.
Как частные случаи этой теоремы, получаем
а) Всякий линейный функционал в L2[a, b] имеет вид
,
где
также принадлежит L2[a,
b],
причём
.
б) Всякий линейный функционал в имеет вид
,
где
,
причём
.