2. Топология и топологическое пространство. База топологии

Определение 1 (основное определение). Пусть Х – произвольное множество и  = {U} – совокупность его подмножеств, обладающая следующими свойствами (аксиомы топологии):

1) , Х  ;

2) объединение любой совокупности множеств из  принадлежит ;

3) пересечение любого конечного числа множеств из  принадле­жит .

Такая совокупность подмножеств  называется топологией на X. Множество Х с заданной на нем топологией  называется топологическим пространством и обозначается (X, ), подмножества из совокупности  называются открытыми (в пространстве (X, )).

Пример 1. Х – числовая прямая R¹. Топологию на R¹ можно за­дать следующим набором подмножеств: пустое множество , всевоз­можные интервалы и их объединения U = . Аксиомы топологии проверяются несложно.

Пример 2. X = R². Открытым множеством назовем всякое множество в X = R², которое вместе с каждой своей точкой содер­жит достаточно малый открытый круг с центром в этой точке, а также пустое множество. Это определение соответствует стандартному пониманию открытых множеств, даваемому в курсе «Математического анализа». Легко проверить, что система всех откры­тых множеств в Х = R² образует топологию.

Пример 3. Х – произвольное множество. Совокупность _min = {, X} очевидно задает топологию на Х. Таким образом определенная топология на Х называется минимальной или тривиальной.

Пример 4. Х – произвольное множество, _max = {всевозможные подмножества X}. Совокупность  – топология на Х. Эта топология называется максимальной или дискретной.

Таким образом, на од­ном и том же множестве можно ввести различные топологии, на­пример, тривиальную и дискретную.

С понятием открытого множества в топологическом пространстве (X, ) тесно связано двойственное понятие замкнутого множества: так называют множество, дополнение которого до Х открыто. Иными словами, если U  , то X\U замкнуто, и обратно: если F замкнуто, то X\F открыто.

В силу двойственного характера операций в теории множеств со­вокупность {F} всех замкнутых множеств топологического про­странства (X, ) удовлетворяет следующим свойствам:

1) X,   {F};

2) пересечение любой совокупности множеств из {F} принадле­жит {F};

3) объединение любого конечного числа множеств из {F} при­надлежит {F}.

Эти свойства полностью характеризуют замкнутые множества топологического пространства (X, ), а следовательно, и тополо­гию  (так как множества из  – это дополнения замкнутых мно­жеств) и могут быть приняты в качестве аксиом топологического пространства. Таким образом, топологию на Х можно задать, ука­зав совокупность {F} подмножеств X, удовлетворяющую свойствам 1) – 3); в этом случае топологией на Х будет совокупность {X\F}.

Различные топологии на одном и том же множестве образуют частично упорядоченное множество.

Определение 2. Говорят, что топология  на Х слабее топологии ' на Х (  '), если из того, что U  , следует, что U  ', т. е. если   '. Топология ' в этом случае сильнее топологии .

Заметим, что для всякой топологии  имеем _min    _max.

Очень часто получить описание всей топологии, как совокупности некоторых подмножеств Х, затруднительно. Для задания топологии используют построение совокупности подмножеств, порождающих топологию.

Определение 3. Совокупность  = {V} открытых множеств топологического пространства (Х, ) называется базой топологии , если для всякого открытого множества U   и для всякой точки х  U найдется такое множество V  , что х  V и V  U.

Следовательно, всякое непустое открытое множество топологического пространства (Х, ) можно представить в виде объединения открытых множеств из базы топологии  (это свойство характеризует базу и часто принимается за определение базы). Достаточно взять объединение всех открытых множеств из базы, которые вложены в это множество.

Пусть {V_} – некоторая совокупность подмножеств Х. Возникает вопрос: при каких условиях можно построить топологию на Х так, чтобы семейство {V_} было базой этой топологии?

Теорема 1 (критерий базы). Пусть {V_}_А – некоторая не пустая совокупность подмножеств Х. Тогда  = {V_}_А является базой некоторой топологии на Х, если

1) Х = ,

2) для каждого V_ и каждого V_ из  и каждого x  V_  V_ существует V_   такое, что х  V_  V_  V_.

Доказательство. Если  = {V_}_А – база топологии, то V_  V_ – открытое множество, и по определению базы для каждого x  V_  V_ существует V_   такое, что х  V_  V_  V_.

Обратно: если  = {V_}_А удовлетворяет условию теоремы. Будем говорить, что множество U , если U = V_. Принадлежность Х   вытекает из условия 1). Принадлежность    является следствием множественного равенства V_ = . Вторая аксиома проверяется непосредственно: , т.е. объединение множеств из  представимо в виде объединения множеств из  и, следовательно, также принадлежит . Проверим третью аксиому. Для этого возьмем произвольные два множества U₁, U₂  . Согласно определению системы  справедливы представления U₁ = V_, U₂ = V_. Тогда

U₁U₂ = ( V_)( V_) = ( V_ V_).

Для доказательства нам достаточно показать, что множество V_ V_ = , где . Тогда U₁U₂ = , т.е. объединение множеств из , а следовательно U₁U₂ из . В качестве системы множеств в доказываемом равенстве берем все множества из , удовлетворяющие условию  V_ V_. Тогда включение  V_ V_ очевидно. Докажем обратное включение. Возьмем произвольное х  V_ V_. По определению системы  найдется   такой, что х   V_ V_. Это означает, что х  и справедливо включение V_ V_  .

Заметим, что в доказательстве мы указали и способ построения топологии, если задано семейство  = {V_}_А, удовлетворяющее условию теоремы.

Пример 5. Пусть Х = Rⁿ есть n-мерное векторное пространство. В качестве базы топологии на Rⁿ можно взять систему множеств  = {V_{a, b} }, где V_{a, b} = {х  Rⁿ: а_i < _i < b_i, i = 1, ..., n}, _i – координата вектора х = (₁, ₂,…, _n); а = (а₁, a₂,…, а_n), b = (b₁, b₂,..., b_n) – произвольные векторы в Rⁿ, причем а_i < b_i.

Такие множества V_{a, b} называются открытыми параллелепипедами в Rⁿ.

В дальнейшем, если не будет указано, какая именно топология рассматривается на Rⁿ, мы будем считать, что Rⁿ снабжено топологией, база которой указана в примере 5.

В топологическом пространстве естественно выбирать базу топологии с возможно меньшим количеством элементов. Например, в R¹ множества V = (t₁, t₂), где t₁, t₂ рациональные числа, образуют базу топологии из счетного числа элементов.