Менеджмент.Финансовая математика

Правила, принятые в ряде стран, предусматривают некото­ рые требования к условиям лизинговых операций, в том числе:

—правило обязательного минимального собственного уча­ стия лизингодателя в финансировании сделки на уровне не ниже 20%;

—правило максимального срока лизинга, согласно которо­ му этот срок должен быть меньше полезного срока жизни оборудования (economic life).

Частным случаем финансового лизинга является возвратный лизинг (sale and leaseback). Он предполагает продажу оборудова­ ния и получение его обратно у нового владельца в порядке фи­ нансового лизинга. Таким образом, вместе с отказом от права собственности бывший владелец оборудования получает средст­ ва для финансирования других своих нужд. Кроме того, арен­ датор имеет возможность сократить налоговые выплаты, свя­ занные со стоимостью арендованного имущества.

Оперативный лизинг (operating lease). Сюда относят все виды аренды, которые не являются финансовым лизингом. Опера­ тивный лизинг характеризуется короткими сроками, что пред­ полагает возможность неоднократной сдачи оборудования в аренду. Право собственности не переходит к арендатору. Обыч­ но аренду можно прекратить в любой момент по желанию арен­ датора. Часто договор оперативного лизинга предусматривает ремонт и обслуживание оборудования силами арендодателя.

Различие между финансовым и оперативным лизингом на практике не столь очевидно, как это может показаться на пер­ вый взгляд, и в значительной мере зависит от принятых в стра­ не законов. Ниже обсуждаются проблемы, связанные в основ­ ном с финансовым лизингом.

Основные преимущества лизинга для лизингополучателя:

—дополнительный источник средне- и долгосрочного фи­ нансирования производственной деятельности, особенно, если он имеет ограниченные возможности для получения долгосрочного кредита*, длительные сроки договора явля­ ются средством страхования от инфляции;

—большая гибкость при формулировании условий погаше­ ния задолженности, чем при непосредственном получе­ нии кредита для приобретения имущества;

—использование различных налоговых льгот; одной из важ­ ных льгот является включение лизинговых платежей в се­ бестоимость продукции, тем самым уменьшается база для расчета налогооблагаемой прибыли;

291

—привлечение профессионалов для выбора и закупки обо­ рудования.

Для лизингодателя лизинг — один из видов предпринима­ тельской деятельности, предполагающий привлечение заемных средств для их инвестирования в оборудование или использова­ ние для этого собственных денег. Этот вид деятельности расши­ ряет рамки услуг, предоставляемых клиентам финансовыми ин­ ститутами. Лизинг приносит предпринимательскую прибыль, а также некоторый доход от налоговых льгот.

В свою очередь производитель оборудования с помощью ли­ зинга расширяет возможности сбыта своей продукции.

§13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту

Количественный анализ лизинговой операции обычно пред­ назначен, по крайней мере теоретически, для решения двух за­ дач. Для арендатора важно определиться — покупать или арен­ довать производственное имущество (если, разумеется, он по своим финансовым возможностям может ставить этот вопрос). Для лизингодателя необходимо определить размер лизинговых платежей и финансовую эффективность сделки.

Назначение лизинговых платежей — полное покрытие издер­ жек лизингодателя, связанных с выполнением условий арендно­ го контракта, включая расходы по закупке оборудования, креди­ тованию и страхованию, а также обеспечение лизингодателю не­ которой прибыли и комиссионных. Последние покрывают рас­ ходы по подготовке контракта и посреднической деятельности.

Погашение задолженности по лизинговым контрактам мо­ жет осуществляться на основе различных схем (способов опла­ ты). Лизингополучатель и лизингодатель выбирают и согласо­ вывают наиболее удобный для них по срокам и размерам пла­ тежей способ.

Задолженность по лизингу погашается следующими видами платежей:

—авансовый платеж,

—периодические лизинговые платежи,

—выкупная сумма.

Основными здесь являются периодические выплаты. Отме­ тим лишь несколько признаков, по которым они различаются:

292

—по размеру платежей: постоянные и переменные;

—по применяемой процентной ставке: сложная, а иногда (при очень коротких сроках) простая, постоянная или пе­ ременная;

—по моменту производства платежей: в начале или конце периодов (пренумерандо и постнумерандо);

—по периодичности выплат (обычно лизинг предусматрива­ ет ежемесячные платежи, редко ежеквартальные или по­ лугодовые).

Приведенная классификация охватывает большинство из возможных способов погашения задолженности, однако на практике могут иметь место и другие, согласованные участвую­ щими сторонами варианты, например, выплаты с удвоенным первым взносом и т.д.

Как правило, финансовый лизинг является среднеили дол­ госрочной операцией. Однако в российской практике встреча­ ются и краткосрочные, например, на 2 года.

Система основных схем выплат периодических лизинговых платежей представлена на рис. 13.2.

Различие между схемами А и Б платежей заключается в по­ следовательности расчетов:

—по схеме А сначала определяется величина лизинговых платежей в целом, далее она распределяется на процент­ ные платежи и суммы погашения долга;

—по схеме Б сначала рассчитываются размеры процентных платежей и суммы погашения долга (амортизация задол­ женности), затем определяется общая величина лизинго­ вых платежей.

Рис. 13.2

293

Регулярные платежи — лизинговые платежи, производимые через равные интервалы времени в конце или в начале перио­ дов. Величина лизинговых платежей не обязательно должна быть постоянной, она может изменяться (увеличение или уменьшение платежей) в ходе погашения задолженности, на­ пример, с постоянным темпом.

Нерегулярные платежи — лизинговые платежи, производи­ мые по согласованному с лизингодателем графику, содержа­ щему суммы платежей и их сроки

Для того чтобы сущность финансового лизинга и влияния условий контракта на размеры платежей были понятны, приве­ дем простой пример с последовательными усложнениями усло­ вий лизинга. Во всех вариантах стоимость оборудования равна 1000, а срок лизинга составляет 36 месяцев, платежи постнуме­ рандо. В вариантах 1—3 предусматривается полное погашение стоимости оборудования, в вариантах 4—5 оборудование выку­ пается по остаточной стоимости, равной 200. Соответствующие расчеты приведены в примере 13.1.

Вариант /. Платежи по 39,23 в конце каждого месяца. Сумма платежей за весь срок аренды составит 1412,38. Таким

образом, общая сумма прибыли лизингодателя за три года рав­ на 412,38, или 2% в месяц (24% номинальных процентов в год) от инвестированных средств. Если платежи указанного размера будут вноситься в начале каждого месяца, то это принесет 2,13% в месяц.

Вариант 2. Предусматривается удвоенный взнос в первом периоде и освобождение от взноса в последнем.

При условии, что инвестиции должны принести 2% в месяц, первый взнос должен составить 76,98, остальные — по 38,49.

Вариант 3. Согласно контракту в начале срока лизинга про­ изводится авансовый платеж в сумме 100. Аванс 100, остальные платежи по 35,31.

Вариант 4. Арендатор имеет право выкупить имущество в конце срока по цене 200. В этой ситуации — периодические платежи по 35,39 и выкупная цена 200.

Вариант 5. Аванс и право выкупа. Платежи арендатора: аванс 100, платежи по 31,46, выкупная цена 200.

294

§13.3. Методы расчета лизинговых платежей

Для всех лизинговых схем исходным требованием является

равенство современной стоимости потока лизинговых платежей затратам на приобретение оборудования, т.е. предусматривается финансовая эквивалентность обязательств обеих сторон конт­ ракта. В общем виде требование финансовой эквивалентности обязательств можно записать в виде следующего равенства:

К= PV(RJ),

(13.1)

где К — стоимость имущества для лизингодателя (с учетом та­ моженных сборов, страховых расходов и т.д.), PV — оператор определения современной стоимости, Rj — платежи по лизин­ гу.

Формула (13.1) конкретизируется с учетом условий лизин­ га. В обсуждаемых методиках предполагается, что как при формировании потока платежей, так и при определении сто­ имости оборудования в них учитываются все налоговые вы­ платы.

Регулярные постоянные платежи, сложные проценты (схема

А). В преобладающем числе случаев поток лизинговых плате­ жей представляет собой постоянную ренту. Соответственно ме­ тоды расчетов периодических лизинговых платежей базируются на теории постоянных финансовых рент.

Для записи формул примем следующие обозначения:

R — размер постоянного платежа;

п— срок лизинга в месяцах, кварталах, годах (общее число платежей); как правило, в лизинговом контракте число платежей равно числу начислений процентов;

/— процентная ставка за период (норма доходности); если указана годовая номинальная ставка j, то в формулах вместо / используется величина j/m, где т — количество

начислений процентов в году;

s — доля остаточной стоимости в первоначальной стоимости оборудования;

а , — коэффициент приведения постоянной ренты постну­ мерандо.

295

Если платежи постоянны во времени и погашают всю стои­ мость имущества, то, развернув формулу (13.1), получим при выплатах постнумерандо

откуда

(1 3 .2 )

Внекоторых схемах для упрощения расчетов размеров пла­ тежей во многих случаях можно применить коэффициенты рас­ срочки платежей, определяющие долю стоимости оборудова­ ния, погашаемую при каждой выплате.

Коэффициент рассрочки для постоянных рент постнумеран­ до при условии, что применяются сложные проценты, равен

а, = \/ап.„ т.е.

Всвою очередь коэффициент рассрочки для выплат прену­ мерандо составит

°2 = 0 /4 ;/)V>

(13.4)

где v — дисконтный множитель по ставке /.

Размеры лизинговых платежей определяются элементарно — путем умножения показателя стоимости имущества на коэффи­ циент рассрочки:

(13.5)

Значения коэффициентов рассрочки при равных платежах для некоторых сроков лизинга (измеряемых в месяцах и годах) приведены в табл. 10— 11 Приложения.

Несколько усложним схему лизинговых платежей. Пусть те­ перь первый платеж будет в к раз больше остальных (удвоен или утроен), причем соответственно сокращается число осталь­ ных платежей. Тогда условие финансовой эквивалентности обя­ зательств удовлетворяется следующими равенствами:

для выплат постнумерандо

К= (к — 1)Rv + Ra,

296

и для платежей пренумерандо

К - (к - 1)Л + Ra^+f.j(1 + /).

На основе этих равенств легко найти необходимые значения лизинговых платежей, а именно:

Л = — — — -------------------------------------	,(13.6
(к —l)v + вя_*+1;/
К
R = - — — ----------------------------------	7.- - - : :.(13.7
к ~ 1 + ап-к+1-Л1 + '>

Теперь примем во внимание выплату аванса (обозначим его как А). Для лизинговых платежей постнумерандо и пренумеран­ до соответственно получим следующие уравнения эквивалент­ ности:

К = А + Ran.t, К — А + Лоя;/(1 + /)•

Для расчета R применим коэффициенты рассрочки. После чего

R = ( K - A ) a H2y

(13.8)

Если лизинговый контракт предусматривает выкуп имущест­ ва по остаточной стоимости, доля которой в стоимости имуще­ ства равна s, то уравнение эквивалентности при платежах пост­ нумерандо имеет вид

К = Ran;l + Ksv",

откуда

R = * (1 ~

« АГ(1 - svn)a{.

(13.9)

я;/

Аналогично для платежей пренумерандо получим

К(\ — svn~)

я = v

T

T

o

< ш о >

Закончим обсуждение метода расчета суммы платежа вари­ антом, в котором одновременно учитывается авансовый платеж

297

и выкуп имущества. В этом случае для последовательностей платежей постнумерандо и пренумерандо имеем

/Г(1 —svn) = А + Ranj, К(\ — svn) = А + Ranj (1 + /).

Соответственно, получим
„	[АГ(1 - sv") -	А]	(13.11)
R = — --------- --------L,
	a n\i
„	[tf(l - svn) -	А]
* ■	4 , 0 * 1 )	•	(Ш 2 )
П Р И М Е Р 1 3 .1 . В § 13 .2	приведены различные варианты условий

лизинга. Рассчитаем для них значения лизинговых платежей, ис­ пользуя приведенные выше формулы.

Общ ие исходные данные: К -		1000, п = 36 месяцев, / = 2 % в
месяц, выплаты постнумерандо.
Вариант 1. Находим по (13 .3 ) коэффициент рассрочки (плате­
жи в конце периодов) и затем размер ежемесячного платежа
а , = 1 _	0,02	Я = 1000 х 0,03923 = 39,23 .
	= 0,03923;

Если платежи вносятся в начале каждого месяца, то согласно (13 .4 )

а2 = 0,039233 х 1 .0 2 '1 = 0,038464 и Я = 38,46 .

Вариант 2. Удвоенный взнос в первом месяце (к = 2). Для взносов в конце периодов получим по (13 .6 )

1000

Я = — — ——	. " г	, --------- = 38,49 и первый взнос 2Я = 76 ,9 8 .
(Z ~ 1) х 1,02		+ £3 5 .2
Вариант 3. А = 100. На основе (13 .8 ) находим
	Я	=	900 х 0,03923	= 3 5 ,3 1.
Вариант 4.	В этом		варианте s =	0 ,2 . Таким	образом, Ks'=
= 1000 х 0 ,2 =	200 и согласно (13 .9 ) получим
Я = 10 0 0 (1		-	0 ,2 х 1 ,0 2 -36) х 0,03923 =		35,39.

298

Вариант 5. А = 100, s = 0,2. По формуле (13.11) находим

Я = [1000 х (1 - 0,2 х 1.02-36) - 100] х 0,03923 = 31,46.

Перейдем ко второй задаче — делению суммы платежа по лизингу (R) на сумму амортизации долга и выплату процентов. Сумма, идущая на погашение основного долга, находится как разность лизингового платежа и процентов на остаток задол­ женности.

1. Платежи постнумерандо

dt = R - Df_x х /, t= 1,...,«,

(13.13)

где dt — сумма погашения основного долга в периоде t, Dt_l — остаток долга на конец периода t — I, D0 = К.

В первом периоде

d{ = R — Ki.

Остаток задолженности последовательно определяется как

D,= D ^ - d r		(13.14)
2. Платежи пренумерандо
d\ ~ R>
d2 = R -	Ki,
d,= R~	D ^i.	(13.15)
П Р И М Е Р 1 3 .2 . К = 100, n = 5 лет, i = 10 %		годовых, платежи в

конце периодов, полное погашение стоимости оборудования (s = = 0). П о формуле (13 .2 ) получим

R = 100 * 1 - (10+ o i ) - s = 100 х °.2 6 3 8 = 26,38.

(Табличное значение коэффициента рассрочки равно 0 ,26 3 79 7 (см . табл. 11 Приложения).)

Если контракт предусматривает платежи в начале каждого го ­ да, то коэффициент рассрочки определим по (13 .4 ):

299

я- 1001-(Л1».»-»*7TTW- т *023982-23'982-

Проценты за первый год 100 х 0 ,1 = 10 , сумма погашения дол­

га 26,38 -	10 = 16 ,3 8 . График погашения задолженности при вы­
платах постнумерандо приведен в табл.			1 3 .1 .
				Таблица 13.1
t	Остаток долга	%	Погашение	Лизинговые
	на конец периода		долга	платежи
1	100,000	10,000	16,380	26,38
2	83,620	8,362	18 ,0 18	26,38
3	65,602	6,560	19,820	26,38
4	4 5 ,78 2	4 ,5 78	2 1,8 0 2	26,38
5	23,980	2,398	23,980	26,38

Как видно из таблицы, суммы, предназначенные для погаш е­ ния основного долга, увеличиваются, в то время как процентные платежи сокращаются.

Если в условиях данного примера предусматривается остаточ­ ная стоимость в размере 10 % от первоначальной стоимости обо ­ рудования (s = 0 ,1 ) , то размер лизингового платежа (выплаты по­ стнумерандо) составит согласно (13 .9 )

	Я = 10 0 (1 - 0 ,1 х	1 , Г 5) х	0,2638 = 2 4 ,74 2 .
График выплат представлен в табл. 13 .2 .
				Таблица 13.2
Г	Остаток долга	%	Погашение Лизинговые
	на конец периода		долга	платежи
1	100,000	10,000	14,742	24,742
2	85,258	8,526	16,215	24,742
3	69,043	6,904	17,837	24,742
4	51,205	5,121	19,621	24,742
5	31,584	3,158	21,584	24,742
Проверка: остаточная стоимость 3			1,5 8 4 - 2 1,5 8 4 =	10,0 00 .

Размер платежа по лизингу зависит от ряда параметров, часть из которых определяется в ходе разработки лизингового контракта. Такие величины, как срок и процентная ставка,

зоо