Менеджмент.Финансовая математика

2 x 4 + 2

3

= 0,988437.

Корректирующий множитель равен 1/0,988437 = 1 ,0 1 1 6 9 7 7 . Как видим, нужна более существенная корректировка цены, чем по варианту а.

Перейдем теперь к корректировке условий сделки с помо­ щью изменения ставки процента за кредит. Единственное зна­ чение /, при котором продавец не терпит убытки в варианте б, нетрудно определить из условия, согласно которому z = 1. Для того чтобы удовлетворить это требование, необходимо выпол­ нение условия, которое следует из (14.9):

откуда

d

(14.10)

П Р И М Е Р 1 4 .5 . По данным примера 14 .1 (вариант б) и при усло­ вии, что d = 4 ,7 5 % , находим

Таким образом, у покупателя имеются две возможности для компенсации потерь при учете портфеля векселей — повысить цену товара на 1 ,0 1 1 6 9 7 7 или увеличить ставку за кредит до 1 1 ,0 7 8 7 % годовых.

Корректировка цены и ставки по кредиту приводит пример­ но к одинаковым конечным результатам, однако обычно на­ блюдается небольшое различие в суммах векселей. Для иллюст­ рации сказанного обратимся к примеру.

311

П Р И М Е Р 1 4 .6 . Первоначальные условия сделки: Р = 1200 ты с.руб., ставка по кредиту за полугодие — 3 % , учетная ставка за полугодие — 4 ,5 % . Проценты начисляются на сумму векселя (ва­ риант б). Выписывается шесть векселей с последовательным по­ гашением по полугодиям. Поскольку / < d , то сразу можно ска­ зать, что необходима корректировка исходных условий. Корректи­ рующий множитель, рассчитанный по формуле (14 .9 ), составит 1 ,0 78 72 . Таким образом, сумма векселя с поправкой, но без на­

численных процентов равна 200 х 1 ,0 7 8 72 = 2 1 5 ,7 4 .				Суммы	век­
селей с начисленными		процентами	по ставке 3%	показаны в
та б л .14 .2 .
Применив второй метод корректировки, находим
	1	0 ,0 475
		2 x6 + 1	“ °’0559*
	1 ------------------ 0,45
Значения сумм векселей, полученных наращиванием					200
тыс.руб. по ставке 5 ,5 9 % , приведены в табл. 14 .2 .
				Таблица 14.2
	Умножение на Л/ж		Повышение ставки до /*
Период	Сумма	Дисконт	Сумма	Дисконт
	платежа		платежа
1	222,22	10,00	211,18	9,50
2	228,69	20,58	222,36	20,01
3	235,16	31,75	233,54	31,53
4	241,63	43,49	244,72	44,05
5	248,11	55,82	255,90	57,58
6	254,58	68,74	267,08	72,11
И т о го	1430,39	230,38	1434,78	234,78

Нетрудно убедиться в том, что при любом методе корректи­ ровки продавец получит сумму, равную оговоренной цене (1200), как это и требовалось доказать. Небольшое различие между ито­ говыми суммами векселей (и дисконта) объясняется тем, что рас­ пределение платежей по срокам несколько различается. В пер­ вом случае оно более равномерно (минимальная сумма — 2 2 2,22, максимальная — 254,58), во втором — первый вексель выписыва­ ется на сумму 2 1 1 ,1 8 , последний — на 2 6 7t08. Указанный неболь­ шой сдвиг приводит к увеличению общей суммы платежа по век­ селям, а также суммы дисконта.

312

§14.3. Анализ позиций покупателя и банка

Совокупные издержки покупателя. Последовательность пога­ шения векселей можно рассматривать как поток платежей. Со­ вокупные издержки покупателя с учетом фактора времени рав­ ны современной стоимости этого потока. В § 14.2 было показа­ но, что сумма векселя может быть получена двумя путями. На­ помним: вариант а — проценты по кредиту начисляются на ос­ таточную сумму долга, вариант 6 — проценты начисляются на сумму погашения основного долга по векселю. Определим со­ вокупные издержки покупателя для этих двух вариантов с уче­ том того, что условия сделки сбалансированы, т.е. с необходи­ мой корректировкой цены.

Вариант а. Для этого варианта современная величина плате­ жей по векселям (приведенные совокупные издержки покупа­ теля) составит

1	Р	(14.11)
Wa = - 2	K , V ' = — Z[1 + ( n - t + l ) / ] v ' ,

где v — дисконтный множитель по рыночной процентной став­ ке q.

П Р И М Е Р 1 4 . 7 . Поданны м примера 14 .1 (варианта) при условии,

что сложная ставка, которая характеризует средний уровень								ссуд­
ного процента на рынке, равна, допустим, 15 % годовых, что								соот­
ветствует ставке за полугодие q =					1 ,1 5 1/2 — 1		= 0 ,0 72 3 8	, или
7,2 3 8 % . Величины		Vt приведены		в	табл.	1 4 .1 ;	значение	z =
= 0,994375 найдено в примере 14 .2 . Получим:
Wa =	—	( 300 х	1,0 72 3	8 "1	+ 2 8 7,5 х 1.0 72 3 8 "2 +
	и,УУ4»3 /э
+	275 х 1.0 72 3 8 -3 +		262,5	х	1.0 72 3	8 -4) =	956,65.

Вариант б. При начислении процентов на остаток задолжен­ ности получим следующее значение современной стоимости потока платежей:

И'б - - У К У	- l y - f U	f t V .	(14.12)
Z t	z п v	'

313

П Р И М Е Р	1 4 .8 . Для варианта б начисления процентов (данные
примера	14.2) при условии, что г = 0,988437 (см. пример 14 .4 ) и
q = 7,2 3 8 % , находим:
ИЛ = — ^ — — (262,5 х		1,0 72 3 8 "1 + 275 х 0 .0 72 3 8 -2 +
6	0,988437
+	2 8 7,5 х 1 .0 72 3 8 -3 +	300 х 1 .0 7 2 3 8 '4) = 954,92.

Как видим, такой способ начисления процентов при условии, что q > /, дает сумму совокупных издержек, которая чуть меньше, чем у варианта а.

Минимизация издержек. Современная стоимость издержек покупателя зависит от всех параметров операции, причем при q > / всегда наблюдается соотношение W6 < Wa. Иначе говоря, совокупные издержки покупателя меньше при начислении про­ центов по варианту б. Причем, чем больше я и q , тем больше разность современных стоимостей потоков платежей, соответ­ ствующих двум вариантам начисления процентов.

В табл. 14.3 иллюстрируется влияние роста учетной ставки на приведенные издержки покупателя (вариант 1). Влияние процентной ставки / на величину приведенных издержек неод­ нозначно. В некоторых случаях ее рост приводит к увеличению W, в других — к уменьшению. Однако в любом случае это вли­ яние мало ощутимо. Оно становится заметным лишь при боль­ ших значениях п. В этой же таблице приводятся данные, хара­ ктеризующие W6 для разных значений / (варианты 2 и 3). При расчете совокупных издержек приняты следующие параметры:

Р =	1000, q = 0,1. В варианте 1 п = 10, / = 0,06; в варианте 2
п =	10, d = 0,07; в варианте 3 я = 8, d = 0,05.

Наиболее интересной и практически важной является зави­ симость современной стоимости издержек от количества после­ довательно погашенных векселей п. Нетрудно обнаружить, что при одних сочетаниях исходных параметров операции (/, d, q) значение W может расти, при других — падать. Более того, при некоторых сочетаниях параметров существует такое количест­ во векселей, при котором совокупные издержки покупателя ста­ новятся минимальными. Строгий аналитический подход для оп­ ределения оптимального я приводит к громоздким математиче­ ским выражениям. Проще рассчитать ряды показателей для за­ данного набора параметров и выбрать оптимальное значение п.

314

	Суммарные приведенные издержки импортера					Таблица 14.3
Вариант I		Вариант 2			Вариант 3
d	Щ*	i	1005		i	Ъ
0,04	775	0,04			0,04	856
0,05	839	0,05	1006		0,05	855
0,06	916	0,06	1007		0,06	854
0,07	1007	0,07	1008		0,07	853
0,08	1118	0,08	1009		0,08	852
0,09	1258	0,09	1010		0,09	852
0,10	1436	0,10	1010		0,10	851
0,11	1675	0,11	1011		0,11	850
0,12	2008	0,12	1012		0,12	850
	Суммарные приведенные издержки покупателя					Таблица 14.4
		Вариант 1	Вариант 2			Вариант 3
я	d = 5%; i - 4%		d = 6%; i = 4%		d = 7%; i ж 6%
4		904	931	(837)		960
5		890	923	(814)		959
6		877	917	(793)		961
7		865	913	(776)		966
8		856	911	(761)		975
9		848	912	(749)		989
10		842	916	(740)		1007
11		837	923	(733)		1031
12		835	933	(730)		1062
13		834	947	(731)		1102
14		836	965	(734)		1153
15		841	989	(743)		1219
16		848	1019	(756)		1304
17		858	1057	(775)		1417
^ 8		871	1105	(800)		1570
19		888	1165	(835)		1787
20		910	1242	(881)		2112

В табл. 14.4 приводятся характеристики суммарных издержек W6 в зависимости от п для трех вариантов условий. Во всех ва­ риантах Р = 1000, q = 0,1. В варианте 1: d = 0,05, i = 0,04; в ва­ рианте 2: d =0,06, / = 0,04; в варианте 3: d = 0,07, / = 0,06. По данным этой таблицы и из дополнительных расчетов следует, что величина ставки d заметно влияет на значение п, соответ­ ствующее минимальной величине издержек. Например, при

315

Рис. 14.1

низком значении учетной ставки (</ = 0,04) минимум издержек приходится на я = 13. Повышение d до 0,06 сдвигает оптималь­ ное для импортера число п до 8. При d = 0,07 оптимальное я равно 5. Графическая иллюстрация влияния п на точку оптиму­ ма приведена на рис. 14.1.

Изменение ставки / практически не отражается на положе­ нии точки оптимума. Например, если в варианте 2 эта ставка была бы не 0,04, а 0,06, то оптимальным опять оказалось бы

п = 8.

Влияние ставки q однозначно — чем она выше, тем меньше величина совокупных издержек. Ее повышение при всех прочих равных показателях отодвигает точку оптимума. Так, если в ва­ рианте 2 принять q = 0,15 вместо 0,1, то точка оптимума сдви­ нется до я = 12. Соответствующие значения суммарных издер­ жек показаны в табл. 14.4 (в скобках в варианте 2).

Анализ позиции банка. Банк или другое финансовое учрежде­ ние, участвующее в форфейтной сделке путем учета векселей, берет на себя весь риск по проведению операции и заинтересо­ ван в получении дохода от инвестированных в векселя средств. Доходность операции определяется учетной ставкой. Посколь­ ку общепринятым измерителем эффективности финансовых долгосрочных операций является ставка сложных процентов, то ее анализ с позиции банка заключается в расчете такой ставки. Последняя эквивалентна учетной ставке d, примененной при учете комплекта из я векселей с последовательными сроками погашения.

При условии, что Р и Vt сбалансированы, можно написать:

316

p - z v y ,	(14.13)
I-I

где v — дисконтный множитель по неизвестной ставке g, хара­ ктеризующей доходность учета портфеля векселей.

Теперь задача сводится к определению корня многочлена степени п. Как известно, такая задача решается одним из ите­ ративных вычислительных методов, с которыми мы знакоми­ лись в предшествующих главах. Рост учетной ставки, естествен­ но, оказывает положительное влияние на g. С увеличением п величина g также растет.

П Р И М Е Р 1 4 .9 . П о данным примера 14 .1 суммы векселей после корректировки составят (вариант б): 26 5 ,5 7; 2 78 ,2 2 ; 290,86; 3 0 3 ,5 1. Необходимое для расчета д уравнение имеет вид

1000 = 265 ,57v + 2 78 ,2 2 v2 + 290,86 v 3 + 303,51 И .

Находим: v = 0,95039 и д = 5 ,2 2 % . Поскольку процентная став­ ка рассчитана за полугодие, то для получения годовой ставки сложных процентов находим 1.0 5 222 = 1 ,1 0 7 1 , т .е . 1 0 ,7 1 % .

Итак, при выработке условий конкретной сделки а форфэ необходим ее всесторонний количественный анализ с позиции заинтересованных сторон, так как финансовые результаты сделки не очевидны и существенно зависят от значений приня­ тых параметров.

Из приведенного выше материала следует, что для продавца, который остерегается существенного повышения цены и в то же время стремится компенсировать свои потери, средствами упра­ вления являются: снижение учетной ставки, повышение ставки процентов за кредит, уменьшение числа векселей (периода по­ гашения). Средствами управления для покупателя являются в основном параметры d u n . Большая величина параметра / игра­ ет отрицательную роль лишь при очень высоких значениях я.

Как было показано, в ряде практических случаев современ­ ная величина издержек импортера может быть минимизирова­ на. Таким образом, основная задача покупателя — найти значе­ ние л, минимизирующее современную стоимость издержек им­ портера. Основным инструментом, воздействующим на эффек­ тивность сделки, для банка является учетная ставка.

317

Математическое приложение к главе

Доказательство формулы (14.8)

Л - | £ [ и ( , , - « + | ) / ] ( | - * ) -

(1)

Для упрощения (1) необходимо определить следующие сум­ мы:

| (l - id) - » - d l I - п - J

- » ( l -

п + \[ . , 2 « + 1

п----------------- 1- d

Поставим полученные суммы в формулу (1). После ряда пре­ образований получим

Л = Р

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. 2-е изд. М.: Дело, 1995. Гл. 10.

2.Guild I, Harris R. Forfeiting. An alternative approach to export trade finance. Euromoney Publications, 1985.

Глава 15

КОРОТКО ОБ ОПЦИОНАХ

§15.1. Сущность опциона, основные понятия

В последнее десятилетие заметно усилилось внимание к так называемым производным финансовым инструментам (derivative securities). Термин “производный” связан с тем, что стоимость такого инструмента как бы привязывается к стоимости того или иного базового финансового инструмента (underlying securities) и

становится по отношению к нему производной (не в математи­ ческом смысле) величиной. Среди производных инструментов наибольший интерес, вероятно, вызывают опционы. В России опционы пока не получили заметного распространения. Одна­ ко ознакомиться, хотя бы кратко, с данным инструментом представляется своевременным.

Под опционом (options) понимают право, но не обязательство, купить/продать некоторые финансовые инструменты, акции или валюту по оговоренной цене при наступлении срока или до него. За получение этого права покупатель опциона (buyer, hold­ er) при заключении контракта уплачивает продавцу (seller, writer) некоторую премию (premium). Последняя представляет собой рыночную цену опциона. Таким образом, само право в этой операции становится товаром.

Различают опционы на право покупки (call option) и на право продажи (put option). Для сокращения записи, опцион на право покупки часто называют опцион колл, опцион на право продажи

— опцион пут. Опцион, который может быть реализован только в оговоренный в контракте день, день исполнения (expiration day, day of maturity), называют европейским. Если предусматривается возможность исполнения опциона в любой момент до этого дня, то такой опцион называют американским. Заметим, что приве­ денные названия не определяют место сделки. Например, амери­ канский опцион может быть куплен и в Европе. Оговоренная в контракте цена объекта опциона называется объявленной, дого­ ворной ценой, или ценой исполнения (striking price, exercise price).

319

Опционы распространяются на акции, динамику их цен (stock index option), различные долговые обязательства, в том числе облигации, казначейские векселя, долговые сертификаты и другие подобного рода бумаги (option on debt instrument), кур­ сы валют (option on currencies exchange rate), процентные ставки

(interest rates option) и другие объекты. Существует особый класс так называемых экзотических опционов — на право покуп­ ки/продажи некоторых видов товаров (металлы, нефть) и даже на право обмена акций одного вида на акции другого вида. Ка­ ждый из перечисленных объектов опциона имеет свои особен­ ности, которые должны учитываться в технике выполнения и методе анализа операции.

Можно сказать, что опцион является особым случаем фор­ вардной операции. Он отличается от форвардной операции прежде всего тем, что владелец опциона может реализовать свое право на сделку или отказаться от ее исполнения. Если сделка не исполняется (отказ от исполнения), то владелец опциона не­ сет потери только в размере выплаченной им премии.

Охарактеризуем опционы колл и пут с позиций как поку­ пателя, так и продавца. Исполнение опциона может быть ре­ ализовано в нескольких вариантах. Рассмотрим их примени­ тельно к опциону колл при покупке акции. Если есть основа­ ние ожидать, что цена акций компании G будет расти (опти­ мистический прогноз) в течение некоторого периода, то ин­ вестор может купить опцион колл. Пусть условия опциона та­ ковы: цена исполнения 900, премия 50. Допустим в день ис­ полнения рыночная цена акции оказалась равной 1050. Вла­ делец опциона использует свое право и покупает их по цене исполнения, получая прибыль в размере 1050 —(900 + 50) = = 100 на одну акцию. Таким образом, опцион реализуется — приносит доход. Опцион может быть реализован и без непо­ средственной покупки акции — путем получения владельцем опциона разности между рыночной ценой акции и ценой ис­ полнения. Если рыночная цена акции равна 950, то прибыль инвестора будет нулевая: 950 —(900 + 50) = 0. В этом случае для владельца опциона безразлично, купить ли акцию на рын­ ке без опциона или использовать опцион. В обоих решениях его издержки одинаковы. Наконец, при цене ниже 950 поку­ патель отказывается от исполнения опциона и несет убытки. Максимальный убыток равен премии 50, размер прибыли не ограничен.

320