Менеджмент.Финансовая математика

Приведенный пример иллюстрируется на графике “прибыль

—рыночная цена акции” (см. рис. 15.1). Следует обратить вни­ мание на то, что приведенные элементарные расчеты прибыли не учитывают разновременность расходов владельца опциона (премия выплачивается при покупке опциона, а покупка акции

—в день исполнения). Однако, для иллюстрации принципиаль­ ных схем опционов это не так уж и важно.

Обратимся к положению продавца опциона колл в этой сделке. Очевидно, что прибыль/потери продавца опциона “симметричны” потерям/прибыли покупателя опциона: там, где у покупателя — доход, у продавца — потеря, и наоборот. Максимальная прибыль равна 50, размер убытка не ограничен. Если цена акции компании G превышает 950, то продавец не­ сет убытки (см. рис. 15.2).

Прибыль

Прибыль

Рис. 15.2

321

Перейдем к опционам пут (напомним, что это опцион на право продажи). Пусть ожидается падение цены акций компа­ нии G (пессимистический прогноз). В этой ситуации можно продать опцион колл. Однако, как только что было показано, позиция продавца оказывается довольно рискованной. Вместо этого он предпочитает купить опцион пут. Условия опциона: цена исполнения 870, премия 40.

Картина зависимости “прибыль—цена акции” для покупате­ ля опциона пут в этой ситуации кардинальным образом меня­ ется. Если рыночная цена акции меньше 870 —40 = 830, то по­ купатель опциона имеет прибыль. Например, при цене акции 810 прибыль составит 870 —(810 + 40) = 20. При цене 830 при­ быль нулевая, так как 870 —(830 + 40) = 0, а при цене, превы­ шающей 830, имеет место убыток, максимальная величина ко­ торого составляет 40. Прибыль/потери продавца такого опцио­ на показаны на рис. 15.3.

Прибыль

Прибыль

Рис. 15.4

322

Последствия действий продавца опциона для покупателя в зависимости от рыночной цены акции отражены на рис. 15.4.

Как было показано, положения покупателя и продавца оп­ циона в отношении прибыли являются “зеркальными отобра­ жениями”. Различаются они и по моменту получения ожидае­ мой прибыли. Продавец получает ее немедленно, покупатель — в момент реализации опциона.

Приведем пример валютного опциона. Ограничимся при этом позицией покупателя опциона колл.

П Р И М Е Р 1 5 .1 . Им портер, который имеет швейцарские франки и в будущем должен выплатить некоторую сумму в долларах С Ш А , приобретает опцион на право покупки долларов по курсу 1 долл. С Ш А = 2,0 0 шв. франка и выплачивает премию 0,03 шв. фр. за 1 долл. При наступлении срока валютирования возможны следу­ ющие варианты завершения операции, определяемые движением курса доллара.

1 . Курс доллара упал до 1,9 0 шв.фр. В этом случае покупатель не использует опцион и покупает доллары на рынке. Е го резуль­ таты:

— разность между курсом опциона и	2,00 - 1,9 0 = 0	,10 ;
рыночным курсом спот:
— премия:	-0 ,0 3 ;
— условная прибыль от опциона в расчете	0	,0 7 .
на 1 долл.:

2. Курс доллара вырос до 2 ,1 5 шв.фр. Покупатель опциона ис­ пользует свое право на покупку валюты по цене исполнения (ого ­ воренному курсу). Результат: реальная прибыль в размере 2 ,1 5 - - (2,00 + 0,03) = 0 ,1 2 ш в.ф р.на 1 долл.

3. Курс равен 2,00 . Покупатель опциона может его использо­ вать или отказаться от него и купить валюту на рынке. В обоих случаях его расходы равны 2 ,0 3 , т .е . потери относительно рыноч­ ного курса равны премии (0,03).

4 . Курс превышает цену исполнения, но это превышение мень­ ше премии. Если покупатель все же реализует опцион, то потери также меньше премии. Пусть курс равен 2,02, потери равны 2,03 - - 2,02 = 0 ,0 1 на 1 долл.

Приобретение права на покупку объекта опциона имеет смысл при ожидании повышения его цены. Право на продажу, очевидно, покупается при ожидании снижения цены.

Как видно из приведенных рисунков, область изменения ры­ ночной цены акции делится на два интервала, доходный (in the money) и бездоходный (out the money), разделяемые ценой ис­ полнения сделки. Для опциона колл в доходном интервале ры­

323

ночная цена больше цены исполнения, их разность положи­ тельна (на рис. 15.1 интервал цен, превышающих 950). В бездо­ ходном интервале разность рыночной цены и цены исполнения отрицательна. Наконец, при равенстве рыночной цены цене ис­ полнения имеем так называемый нейтральный опцион (at the money). Аналогичные по содержанию интервалы можно выде­ лить и при покупке опциона пут.

Помимо простых схем опциона, которые были только что охарактеризованы, на практике прибегают и к более сложным, комбинированным схемам. Такие схемы предполагают одновре­ менную покупку двух, трех опционов с различными характери­ стиками. Основное назначение комбинированных схем — га­ рантирование владельца опциона от значительных потерь. На­ пример, одновременно покупается и продается опцион колл по разным ценам исполнения и с различными премиями, одновре­ менно используются опционы пут и колл при одинаковой или различных ценах исполнения, двух опционов колл с различны­ ми ценами исполнения и одного опциона пут и т.д. Естествен­ но, что чем больше простых опционов охватывает комбиниро­ ванная схема, тем сложнее ее осуществить — труднее найти контрагентов по сделке.

Приведем график формирования прибыли для комбиниро­ ванной схемы, предусматривающей покупку опциона колл с низкой ценой исполнения Е{ и продажу опциона колл с высо­ кой ценой исполнения Е2 (см. рис. 15.5). Прибыль/потери от комбинации опционов показана жирной линией, с, и — сто­ имости опционов.

324

§15.2. Цена опциона

Как было показано выше, реальные прибыль или потери от опциона для обеих участвующих сторон зависят от цены испол­ нения, рыночной цены актива на момент исполнения опциона, премии. В условиях развитого рынка опционов цена исполне­ ния устанавливается на бирже опционов. Обычно это величи­ на, близкая к текущей рыночной цене актива. Если биржа оп­ ционов отсутствует, то единственный путь установления цены исполнения — непосредственная договоренность покупателя и продавца опциона.

Рыночные цены актива, на которые ориентируются стороны в опционной сделке, не реальные, а ожидаемые величины. Можно полагать, что чем больше они отгоняются от цены ис­ полнения, тем меньше их вероятность. Если принять в качест­ ве одной из возможных рабочих гипотез нормальное распреде­ ление этих вероятностей, то зависимость “вероятность—при­ быль” для опциона колл на графике выглядит таким образом (см. рис. 15.6), что цена исполнения Е является центром рас­ пределения вероятностей. С увеличением рыночной цены при­ быль увеличивается, одновременно уменьшается вероятность этого события.

В разработанных математических моделях для определения цены опциона, одна из которых кратко охарактеризована ниже, вместо нормального распределения обычно используется лога­ рифмически нормальное (логнормальное) распределение, а центр распределения относят к цене исполнения. Иначе гово­ ря, предполагается, что распределение вероятностей для ожида­ емых рыночных цен является асимметричным (вершина сдви­ нута влево). Таким образом, предусматривается, что вероят­ ность получения прибыли выше, чем потерь.

Наиболее интересным среди перечисленных факторов явля­ ется премия (цена опциона). Выше отмечалось, что цена опци-

325

она складывается на рынке. Предлагаемая продавцом цена должна быть конкурентоспособной и в то же время обеспечить ему некоторую прибыль.

К проблеме формирования цены можно подойти аналитиче­ ски. Прежде всего можно определить “естественные” границы этой цены. Так, в первом приближении для европейского оп­ циона колл минимальная цена равна нулю, максимальная — цене акции, так как право на покупку вряд ли может превышать цену самой акции. Таким образом,

0 < с < S,

где с — цена опциона, S — текущая цена акции.

В то же время цена опциона к моменту истечения срока рав­ на разности ожидаемой рыночной цены и цены исполнения:

с = S — Е.

(15.1)

Верхние и нижние границы опциона колл показаны на рис. 15.7.

Для того чтобы уточнить границы значений цены опциона, а также лучше представить себе свойства опциона и фигури­ рующих в нем показателей, сравним расходы на приобретение акции непосредственно на рынке (стратегия А) и при покуп­ ке опциона колл (стратегия Б). Пусть срок опциона и приоб­ ретения акции — один год, цена акции равна S, цена испол­ нения Е.

Возможные стратегии покупателя и их финансовые послед­ ствия представлены в табл. 15.1. В графе “Расходы” этой табли­ цы показаны стоимостные показатели на день исполнения оп­ циона, в графе “Инвестиции” — его расходы на день покупки опциона. Опцион при условии S < Е не реализуется, акции мо-

Цена

опциона

Верхняя граница цены^

Нижняя граница цены

__Цена акции

Рис. 15.7

326

гут быть куплены на рынке (стратегия А). Если S > Е, то сле­ дует применить стратегию Б. Премия для альтернативной ситу­ ации определена в размере с = S — Е. Величина Ev означает со­ временную стоимость цены исполнения на день покупки опци­ она, v — дисконтный множитель. Расходы на приобретение ак­ ции во всех ситуациях равны S.

				Таблица 15.1
	Стратегия	Расходы		Инвестиции
	покупателя	5, <Е	SX>E
	А. Покупка акции	S	—	Sv
	Б. Опцион
	Премия	0	S - E	с
	Цена исполнения	Е	Е	Ev
	Итого для Б	Е	S	(с + Ev)

Теперь становится очевидным, что вместо (15.1) следует ис­ пользовать

с = S - PV(E) - S - Sv,

(15.2)

где PV — оператор определения современной стоимости на мо­ мент выплаты премии, v — дисконтный множитель по рыноч­ ной процентной ставке.

Аналогичным образом получим ограничение для цены опци­ она пут:

с = PV(E) - S.

Приведенные выше выражения позволяют получить значе­ ния премии для нескольких величин цены акции. Так, если ожидаемая цена акции минимальна, то премия опциона колл, естественно, нулевая. Для ситуации, когда S - Е , получим ма­ ксимальную величину премии; с = Е - РУ(Е).

§15.3. Модель Блека—Шоулза

Опционы представляют определенный интерес не только в практическом плане, но и в теоретическом — с позиции коли­ чественного анализа, который осуществляется с помощью раз­ работки специальных моделей (option models), описывающих взаимосвязи основных параметров опционов. Следует, однако,

327

заметить, что теоретические цены опционов, полученные по моделям, в силу неполноты учета экономических условий и их изменчивости, условности входящих статистических данных, как правило, отличаются от рыночных. Вместе с тем, принято считать, что если рыночная цена опциона сильно занижена от­ носительно теоретической цены, то есть основание для его по­ купки.

Детальное рассмотрение моделей опционов неосуществимо в рамках учебника. Поэтому ограничимся только краткой харак­ теристикой наиболее известной из них — модели Блека—Шоул- за (Black—Scholes). Модель Блека—Шоулза разработана в раз­ личных модификациях для некоторых видов опционов. Остано­ вимся на одной, самой простой модификации, — опцион колл цен обыкновенной акции, при условии, что дивиденды по ак­ ции не выплачиваются до дня исполнения.

Выше уже говорилось о том, что цены опционов определя­ ются на рынке и зависят от ряда известных и неизвестных на момент его покупки параметров. К основным параметрам мож­ но отнести:

—уровень цены исполнения,

—текущая цена базового инструмента,

—распределение вероятностей рыночной цены базового ин­ струмента,

—размер процентной ставки,

—срок исполнения опциона.

Все названные факторы учитываются в формуле Блека—Шо­ улза. Для ее записи введем обозначения:

с — цена опциона, 5 — текущая цена акции,

Е — цена исполнения,

е-6' — дисконтный множитель на срок t по непрерывной ставке 6,

/ — срок до даты исполнения, 6 — непрерывная процентная ставка (сила роста), принятая

для дисконтирования,

N(d{) и N(d2) — функции нормального распределения,

о2 — дисперсия доходности акции (доходность измеряется в виде ставки непрерывных процентов).

Находим
с = S х N(dt) - Е х е~ы х N(d2).	(15.3)

328

Величина Ее~*' представляет собой дисконтированную на момент покупки опциона цену исполнения. Функции нормаль­ ного распределения (плотности вероятности) определяются для параметров d{ и d2. Ряд значений функции N(d) приведен в табл. 15.2. Параметры dt рассчитываются следующим образом:

			, „ i f u	6 +
						(15.4)
		А -	( § ) - К )		d, - a ^t •	(15.5)
			~ Z T , —
						Таблица 15.2
		N(d)		N(d)		m
-2 ,9		0,0019	-0 ,9	0,1841	0,9	0,8159
-	2,8	0,0025	- 0,8	0 ,2119	1,0	0,8413
-2 ,7		0,0035	"0 ,7	0,2420	1,1	0,8643
-	2,6	0,0047	- 0,6	0,2743	1,2	0,8849
-2,5		0,0062	-0 ,5	0,3085	1.3	0,9032
-2 ,4		0,0082	-0 ,4	0,3446	1.4	0,9192
-2,3		0 ,0 170	"0,3	0,3821	1.5	0,9332
-	2,2	0,0139	- 0,2	0,4207	1.6	0,9452
-	2,1	0 ,0 179	- 0,1	0,4602	« ,7	0,9554
-	2,0	0,0228	-0,05	0,4801	1,8	0,9641
-1,9		0,0256	0,00	0,5000	1,9	0,9713
-	1,8	0,0359	0,05	0,5199	2,0	0,9773
- 1 ,7		0,0446	0,1	0,5398	2,1	0,9821
- 1,6		0,0548	0,2	0,5793	2,2	0,9861
-1 ,5		0,0668	0,3	0,6179	2.3	0,9893
- 1 ,4		0,0808	0,4	0,6554	2.4	0,9918
-1 ,3		0,0968	0,5	0,6915	2.5	0,9938
-	1,2	0 ,115 1	0,6	0 ,72 5 7	2.6	0,9953
-	1.1	0 ,13 5 7	0 ,7	0,7580	2 .7	0,9965
-	1,0	0,15 8 7	0,8	0,7881	2.8	0,9974

П Р И М Е Р 1 5 .2 . Положим, что на момент покупки опциона колл из­ вестны следующие параметры: S = 100, Е= 110 , t = 9 месяцев (0,75 года), о2 = 0 ,3 2 = 0,09, 6 = 0 ,1 . На основе этих данных получим:

329

. /10 0 \	ln ,	0 ,0 9 \n - ,c
(Tioj +(		“ г” )
d , - — ------ '	.....-	/----------- 0 ,0 5 17,
	0 .3 V 0 .75

d2 - 0 ,0 5 1 7 - 0 ,3-у/075 - -0 ,2 0 8 .

П о таблице плотности нормального распределения находим: Л/(0,05) = 0 ,5 19 9 ,

N ( -0 ,2 ) = 0 ,4 2 0 7.

Таким образом, с * 100 х 0,5199 - 110 х в”0*1 * 0 75 х 0 ,4 2 0 7 = 9,06.

При сравнении формул (15.2) и (15.1) легко заметить, что в обеих формулах определяется разность величин S и Е. Однако, в (15.2) эти величины подвергаются взвешиванию, в качестве весов выступают вероятности. Причем N(d2) можно трактовать как вероятность исполнения опциона на момент истечения срока.

Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А

1.Шарп У.Ф., Александер ГДж,. Бейли Дж. В. Инвестиции. Пер. с англ. М.: Ин- фра-М, 1997. Гл. 20.

2.Браун СДж., Криишен М.П. и др. Количественные методы финансового ана­ лиза. Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1996. Гл. 5.

3.Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. Пер. с англ. М.: Статистика, 1980.